斐波拉契数列加强版——时间复杂度O(1)，空间复杂度O(1)

对于斐波拉契经典问题，我们都非常熟悉，通过递推公式F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，我们可以在线性时间内求出第n项F(n)，现在考虑斐波拉契的加强版，我们要求的项数n的范围为int范围内的非负整数，请设计一个高效算法，计算第n项F(n)。第一个斐波拉契数为F(0) = 1。 给定一个非负整数，请返回斐波拉契数列的第n项，为了防止溢出，请将结果Mod 1000000007。 

斐波拉契数列的计算是一个非常经典的问题，对于小规模的n，很容易用递归的方式来获取，对于稍微大一点的n，为了避免递归调用的开销，可以用动态规划的思想轻松获得，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1). 但是对于更大规模，比如上题中的n的范围，动态规划所花的时间也不少了。好在之前在Code Hunt上碰倒这个问题。

考虑下面三个矩阵：

F(n)    F(n-1)        1,1         F(n-1)  F(n-2)

F(n-1) F(n-1)  与   1,0   与   F(n-2)  F(n-3)

分别设为S(n), M, S(n-1).  S(n) = M x S(n-1).

于是

S(n) = M^(n-1) x S(1) = M^n;   （关系1）

再来看看，若n为32位正整数，设c[32]为其二进制序列的逆序列， c[i] =0,1;

n = Σ(c[i]*2^i),  i=0,...,31;

所以只要我知道M的2^i 方幂（i=0,1,2,...,31)，我们可以轻松计算出S(n)

而计算出32个M的幂需要做32次矩阵乘法，而计算M^n次方，即M^( Σ(c[i]*2^i) ) 也最多需要做32次矩阵乘法

因而最多64次矩阵乘法即可计算出任意32位正整数范围的n对应的S(n)

 1 class Fibonacci { 2  /*author: Haibin Chen*/
 3 public:
 4     int getNthNumber(int n) {
 5         // write code here
 6         if(n <=1) return 1;
 7         long a[32];
 8         long b[32];
 9         long c[32];
10         long d[32];
11         a[0]=1;
12         b[0]=1;
13         c[0]=1;
14         d[0]=0;
15         int i,j;
16         for(i=1;i<32;i++){
17             a[i] = a[i-1];
18             b[i] = b[i-1];
19             c[i] = c[i-1];
20             d[i] = d[i-1];
21             getMulti(a[i],b[i],c[i],d[i],a[i],b[i],c[i],d[i]);
22         }
23         long ra = 1,rb =0,rc=0,rd=1,mask=1;
24         for(i=0;i<32;i++){
25             if((n&mask)!=0){
26                getMulti(ra,rb,rc,rd,a[i],b[i],c[i],d[i]);
27             }
28             mask = mask <<1;
29         }
30         return ra;
31     }
32     void getMulti(long &a,long &b,long &c,long &d,long a1,long b1,long c1,long d1){
33         long tempa = (a*a1+b*c1)%1000000007;
34         long tempb = (a*b1+b*d1)%1000000007;
35         long tempc = (c*a1+d*c1)%1000000007;
36         long tempd = (c*b1+d*d1)%1000000007;
37         a = tempa;
38         b = tempb;
39         c = tempc;
40         d = tempd;
41     }
42 };