【bzoj3144】[Hnoi2013]切糕 网络流最小割

题目描述

输入

第一行是三个正整数P,Q,R，表示切糕的长P、 宽Q、高R。第二行有一个非负整数D，表示光滑性要求。接下来是R个P行Q列的矩阵，第z个 矩阵的第x行第y列是v(x,y,z) (1≤x≤P, 1≤y≤Q, 1≤z≤R)。 
100%的数据满足P,Q,R≤40，0≤D≤R，且给出的所有的不和谐值不超过1000。

输出

仅包含一个整数，表示在合法基础上最小的总不和谐值。

样例输入

2 2 2
1
6 1
6 1
2 6
2 6

样例输出

6

给定一个p行q列的矩阵，每个位置可以选择一个1~r的整数，选择不同的数有不同的代价，并且相邻的两个位置上的数的差的绝对值不能超过d，求最小总代价

题解

网络流最小割

看到这题首先一脸懵**，不知道怎么搞，然后想起省选讲题时清华学长所说：条件限制强、数据不大不小的题基本上就是网络流。

于是想了一下但是没有写出来，直到Apio2017时讲到了这道题才明白。

首先，如果是网络流，一定是最小割模型或费用流模型。但费用流很难表达相邻相差不超过d的条件，于是放弃，想最小割。

假如没有限制条件，那么可以对矩阵每个位置拆出r+1个点，连上r条边，边权代表代价。跑最小割即可。（如果不是为了网络流不会这么思考）

然后考虑限制条件，那么应该有：割断边位置超过d的不应算作最小割的一部分。那么让它不为最小割即可。

我们可以在位置相差超过d的点之间加一条容量为inf的边，这条边不会被割掉，则其两边的边一定会被割掉。

故连边(k,i)->(k‘,i-d)，容量为inf，其中编号为k和k‘的点相邻。

这样建完图以后跑最小割即为答案。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define N 70010
#define M 1000010
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pos(i , j , k) n * m * (k) + m * (i - 1) + j
using namespace std;
queue<int> q;
int head[N] , to[M] , val[M] , next[M] , cnt = 1 , s , t , dis[N];
void add(int x , int y , int z)
{
    to[++cnt] = y , val[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
    to[++cnt] = x , val[cnt] = 0 , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;
}
bool bfs()
{
    int x , i;
    memset(dis , 0 , sizeof(dis));
    while(!q.empty()) q.pop();
    dis[s] = 1 , q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        x = q.front() , q.pop();
        for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
        {
            if(val[i] && !dis[to[i]])
            {
                dis[to[i]] = dis[x] + 1;
                if(to[i] == t) return 1;
                q.push(to[i]);
            }
        }
    }
    return 0;
}
int dinic(int x , int low)
{
    if(x == t) return low;
    int temp = low , i , k;
    for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
    {
        if(val[i] && dis[to[i]] == dis[x] + 1)
        {
            k = dinic(to[i] , min(temp , val[i]));
            if(!k) dis[to[i]] = 0;
            val[i] -= k , val[i ^ 1] += k;
            if(!(temp -= k)) break;
        }
    }
    return low - temp;
}
int main()
{
    int n , m , p , d , x , i , j , k , ans = 0;
    scanf("%d%d%d%d" , &n , &m , &p , &d) , s = 0 , t = n * m * (p + 1) + 1;
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
        for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
            add(s , pos(i , j , 0) , inf) , add(pos(i , j , p) , t , inf);
    for(k = 1 ; k <= p ; k ++ )
        for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
            for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
                scanf("%d" , &x) , add(pos(i , j , k - 1) , pos(i , j , k) , x);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
    {
        for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
        {
            for(k = d + 1 ; k < p ; k ++ )
            {
                if(i > 1) add(pos(i , j , k) , pos(i - 1 , j , k - d) , inf);
                if(i < n) add(pos(i , j , k) , pos(i + 1 , j , k - d) , inf);
                if(j > 1) add(pos(i , j , k) , pos(i , j - 1 , k - d) , inf);
                if(j < m) add(pos(i , j , k) , pos(i , j + 1 , k - d) , inf);
            }
        }
    }
    while(bfs()) ans += dinic(s , inf);
    printf("%d\n" , ans);
    return 0;
}