素数专题

素数专题

素数是一个经常的涉及到得内容，所以有必要整理出有关解决素数相关问题的算法

学习资料：Eratosthenes筛法和欧拉筛法对比　　一般筛法求素数+快速线性筛法求素数　　数学技巧之素数筛选

 1 /*
 2     约数枚举，复杂度O (sqrt(n))
 3     By TiaoZhan
 4 */
 5 vector<int> divisor(int n)
 6 {
 7     vector<int> res;
 8     for (int i=1; i*i<=n; ++i)
 9     {
10         if (n % i == 0)
11         {
12             res.push_back (i);
13             if (n / i != i)    res.push_back (n / i);
14         }
15     }
16
17     return res;
18 }

 1 /*
 2     整数分解，复杂度O(sqrt(n))
 3     By TiaoZhan
 4 */
 5 map<int, int> prime_factor(int n)
 6 {
 7     map<int, int> res;
 8     for (int i=2; i*i<=n; ++i)
 9     {
10         while (n % i == 0)    {++res[i];    n /= i;}
11     }
12     if (n != 1)    res[n] = 1;
13
14     return res;
15 }

 1 /*
 2     素性测试，输入正数，复杂度O (sqrt(n))
 3     By TiaoZhan
 4 */
 5 bool is_prime(int n)
 6 {
 7     for (int i=2; i*i<=n; ++i)
 8     {
 9         if (n % i == 0)    return false;
10     }
11     return n != 1;    //1例外
12 }

 1 /*
 2     此算法在小范围(1e5)内判素数个数以及单个数判素数有奇效，不适用于大范围判素数
 3 */
 4 bool is_prime(int x)    {
 5     if (x == 2 || x == 3)   return true;
 6     if (x % 6 != 1 && x % 6 != 5)   return false;
 7     for (int i=5; i*i<=x; i+=6) {
 8         if (x % i == 0 || x % (i + 2) == 0) return false;
 9     }
10     return true;
11 }

更高效的素性测试

 1 /*
 2     埃氏筛法：返回n以内素数的个数， 复杂度O (nloglogn)
 3     By TiaoZhan
 4 */
 5 int seive(int n)    {        //Eratosthenes (埃氏筛法)
 6     int p = 0;
 7     memset (is_prime, true, sizeof (is_prime));
 8     for (int i=2; i<=n; ++i)    {
 9         if (is_prime[i])    {
10             prime[++p] = i;
11             for (int j=2*i; j<=n; j+=i)    is_prime[j] = false;
12         }
13     }
14     return p;
15 }

 1 /*
 2     欧拉筛法：返回n以内素数的个数， 复杂度O (n)
 3 */
 4 int seive2(int n)    {        //Euler (欧拉筛法)
 5     int p = 0;
 6     memset (is_prime, true, sizeof (is_prime));
 7     for (int i=2; i<=n; ++i)    {
 8         if (is_prime[i])    prime[++p] = i;
 9         for (int j=1; j<=p && i*prime[j]<=n; ++j)    {
10             is_prime[i*prime[j]] = false;
11             if (i % prime[j] == 0)    break;
12         }
13     }
14     return p;
15 }

更高效的素数筛法

附上比较两种筛法的测试结果