题目

给出一个长度为N的序列，请求出其最长上升子序列的长度。

题解

分析

首先很容易想到O(N2)的算法

f[i]表示1~i最长上升子序列长度则

f[i]=max{f[j]}+1,(1≤j<i)∧(a[j]<a[i])

显然我们需要的只是满足(1≤j<i)∧(a[j]<a[i])这一条件的最大f[j]，那么我们为何不将他记录下来呢

用g[i]表示f[j]=i 时的 a[j]min len表示当前最大上升自序列长度

易证：

• g[k]在程序运行过程中不会变得更大 (1≤k≤len)
• g[k?1]<g[k] (1≤k≤len)

  于是我们可以二分查找比a[i]小的最后一个g[k]，则

  len=max{len,k+1}

  g[k+1]=a[i]

  这样就可以O(Nlog2N)地解决此题了

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n,a[100050];
int c[100050];
int len=0;

int find (int x)
{
    int l=1,r=len,mid;
    while (l<=r) {
          mid=(l+r)>>1;
          if (x>c[mid]) l=mid+1;
          else r=mid-1;
    }
    return l;
}
int main()
{
    freopen("lis.in","r",stdin);
    freopen("lis.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (int i=1;i<=n;i++) {
        int k=find(a[i]);
        c[k]=a[i];
        len=max(len,k);
        }
    printf("%d",len);
    return 0;
}

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