1. 堆
堆:n个元素序列{k1,k2,...,ki,...,kn},当且仅当满足下列关系时称之为堆:
(ki <= k2i,ki <= k2i+1)
或者(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4,...,n/2)
若将和此次序列对应的一维数组(即以一维数组作此序列的存储结构)看成是一个完全二叉树,则堆的含义表明,完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于(或不小于)其左、右孩子结点的值。由此,若序列{k1,k2,…,kn}是堆,则堆顶元素(或完全二叉树的根)必为序列中n个元素的最小值(或最大值)。
一般用数组来表示堆,i结点的父结点下标就为(i–1)/2。它的左右子结点下标分别为2*i+1和2*i+2。如第0个结点的左右子结点下标分别为1和2。
2. 堆的插入
每次插入都是将先将新数据放在数组最后,由于从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的序列,现在的任务是将这个新数据插入到这个有序序列中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中。
代码:
/* * 堆插入算法。(小顶堆) * 先将num插入堆尾,易知从新数据的父结点到根结点是一个有序的序列, * 将num插入到该有序序列当中,该过程为直接插入排序。 * 未插入前数据长度为n。 */ int HeapInsert(int *heap, int n, int num) { int i, j; heap[n] = num;//num插入堆尾 i = n; j = (n - 1) / 2;//j指向i的父结点 //注意不要漏掉i!=0的条件。因为必须保证i有父结点j。j>=0并不能保证i!=0。 //如果没有此条件,当i=0时,j=0,若heap[0]>num,程序就会陷入死循环。 while (j >= 0 && i != 0) { if (heap[j] <= num) break; heap[i] = heap[j]; i = j; j = (i - 1) / 2; } heap[i] = num; return 0; }
3. 堆的删除
堆中每次都只能删除堆顶元素。为了便于重建堆,实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点,然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右子结点中找最小的,如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了,反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于根结点数据的“下沉”过程。
代码:
/* * 堆删除算法。(删除堆顶元素) * n表示未删除前堆中数据的总数。 */ int HeapDelete(int *heap, int n) { //使用堆尾元素直接覆盖堆顶元素。 heap[0] = heap[n - 1]; //从堆顶到堆尾(此时堆中只有n-1个元素)进行堆调整。 HeapAdjust(heap, 0, n - 1); return 0; } /* * 堆调整算法。(小顶堆) * 已知heap[top]结点的左右子树均为堆,调整堆中元素,使以heap[top]为根结点的树为堆。 * n为堆中元素总数。 */ int HeapAdjust(int *heap, int top, int n) { int j = 2 * top + 1; //左孩子结点 int temp = heap[top]; while (j < n) { if (j + 1 < n&&heap[j + 1] < heap[j]) j++; //使j指向左右孩子中较小的结点。 if (heap[j] >= temp) break; heap[top] = heap[j]; top = j; j = 2 * top + 1; } heap[top] = temp; return 0; }
4. 堆的建立
从无序序列建堆的过程就是一个反复调整的过程。若将此序列看成是一个完全二叉树,则最后一个非终端结点是第(n-2)/2个结点,由此调整过程只需从该结点开始,直到堆顶元素。
代码:
/* * 建堆算法。 * 将无序数组array[]转换为堆。 */ int CreatHeap(int *array, int n) { int i; //最后一个结点的编号为n-1,该结点的父节点(n-2)/2为最后一个非终端结点。 //从结点(n-2)/2到根结点,依次进行堆调整。 for (i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--) { HeapAdjust(array, i, n); } return 0; }
5. 堆排序
若在输出堆顶的最小值之后,使得剩余n-1个元素的序列重建一个堆,则得到n个元素中的次小值。如此反复执行,便能得到一个有序序列,这个过程称之为堆排序。
输出堆顶元素之后,以堆中最后一个元素替代之,此时根结点的左右子树均为堆,则仅需进行一次从上到下的调整即可重建一个堆。
代码:
/* * 堆排序算法。 * 形参heap为大顶堆时,实现的是由小到大; * 形参heap为小顶堆时,实现的是由大到小; */ int HeapSort(int *heap, int n) { int i; int temp; for (i = n - 1; i > 0; i--) { //将堆顶元素和未排序的最后一个元素交换。 temp = heap[0]; heap[0] = heap[i]; heap[i] = temp; //交换之后进行堆调整 HeapAdjust(heap, 0, i); } return 0; }
6. 测试代码
/* * 堆的建立、插入、删除和堆排序算法 */ #define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS #include <stdio.h> #define TOTAL 20 int HeapInsert(int *heap, int n, int num); int HeapDelete(int *heap, int n); int HeapAdjust(int *heap, int top, int n); int HeapSort(int *heap, int n); int CreatHeap(int *array, int n); int main() { int heap[TOTAL]; int num; int i; //先输入一半的数据,对输入的数组建堆。 printf("输入Total/2个数据:\n"); for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++) scanf("%d", &heap[i]); CreatHeap(heap, TOTAL / 2); //检验是否建堆成功。 printf("建堆后:\n"); for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++) printf("%-3d", heap[i]); putchar(‘\n‘); //向已建好的堆中插入数据,并重组为堆。 printf("继续输入Total/4个数据:\n"); for (i = TOTAL / 2; i < TOTAL / 2 + TOTAL / 4; i++) { scanf("%d", &num); HeapInsert(heap, i, num); } //检验是否插入成功。 printf("重组为堆之后:\n"); for (i = 0; i < TOTAL / 2 + TOTAL / 4; i++) printf("%-3d", heap[i]); putchar(‘\n‘); //删除堆顶元素Total/4次。 printf("删除Total/4个数据:\n"); for (i = 0; i < TOTAL / 4; i++) HeapDelete(heap, TOTAL / 2 + TOTAL / 4 - i); //检验是否删除成功。 for (i = 0; i < TOTAL / 2; i++) printf("%-3d", heap[i]); putchar(‘\n‘); //向堆中插满数据,进行堆排序。 printf("继续输入Total/2个数据:\n"); for (i = TOTAL / 2; i < TOTAL; i++) { scanf("%d", &num); HeapInsert(heap, i, num); } HeapSort(heap, TOTAL); printf("排序后:\n"); for (i = 0; i < TOTAL; i++) printf("%-3d ", heap[i]); putchar(‘\n‘); return 0; } /* * 堆插入算法。(小顶堆) * 先将num插入堆尾,易知从新数据的父结点到根结点是一个有序的序列, * 将num插入到该有序序列当中,该过程为直接插入排序。 * 未插入前数据长度为n。 */ int HeapInsert(int *heap, int n, int num) { int i, j; heap[n] = num;//num插入堆尾 i = n; j = (n - 1) / 2;//j指向i的父结点 //注意不要漏掉i!=0的条件。因为必须保证i有父结点j。j>=0并不能保证i!=0。 //如果没有此条件,当i=0时,j=0,若heap[0]>num,程序就会陷入死循环。 while (j >= 0 && i != 0) { if (heap[j] <= num) break; heap[i] = heap[j]; i = j; j = (i - 1) / 2; } heap[i] = num; return 0; } /* * 堆删除算法。(删除堆顶元素) * n表示未删除前堆中数据的总数。 */ int HeapDelete(int *heap, int n) { //使用堆尾元素直接覆盖堆顶元素。 heap[0] = heap[n - 1]; //从堆顶到堆尾(此时堆中只有n-1个元素)进行堆调整。 HeapAdjust(heap, 0, n - 1); return 0; } /* * 堆调整算法。(小顶堆) * 已知heap[top]结点的左右子树均为堆,调整堆中元素,使以heap[top]为根结点的树为堆。 * n为堆中元素总数。 */ int HeapAdjust(int *heap, int top, int n) { int j = 2 * top + 1; //左孩子结点 int temp = heap[top]; while (j < n) { if (j + 1 < n&&heap[j + 1] < heap[j]) j++; //使j指向左右孩子中较小的结点。 if (heap[j] >= temp) break; heap[top] = heap[j]; top = j; j = 2 * top + 1; } heap[top] = temp; return 0; } /* * 堆排序算法。 * 形参heap为大顶堆时,实现的是由小到大; * 形参heap为小顶堆时,实现的是由大到小; */ int HeapSort(int *heap, int n) { int i; int temp; for (i = n - 1; i > 0; i--) { //将堆顶元素和未排序的最后一个元素交换。 temp = heap[0]; heap[0] = heap[i]; heap[i] = temp; //交换之后进行堆调整 HeapAdjust(heap, 0, i); } return 0; } /* * 建堆算法。 * 将无序数组array[]转换为堆。 */ int CreatHeap(int *array, int n) { int i; //最后一个结点的编号为n-1,该结点的父节点(n-2)/2为最后一个非终端结点。 //从结点(n-2)/2到根结点,依次进行堆调整。 for (i = (n - 2) / 2; i >= 0; i--) { HeapAdjust(array, i, n); } return 0; }
7. 测试结果
堆的插入、删除和建立操作,堆排序