Problem Toll Management IV
题目大意
给一张n个点m条边的无向图，有边权。数据保证前n-1条边构成了一棵最小生成树。
要求对于每条边求出其边权上下最多浮动范围，使得最小生成树的形态不变（每次只改变一条边的权值）。
n<=10000,m<=1000000
解题分析
我们称在最小生成树上的边为实边，不在最小生成树上的边为虚边。
对于虚边u-->v，其权值一定可以无限增加。可以发现这条虚边不会影响u--v路径外的点所构成最小生成树的形态。假设u-->v路径上的边最大权值为w，那么当这条虚边的权值小于w时，那么这条虚边将会取代权值为w的边，成为实边。即这条虚边权值的下限为w。
对于实边u-->v，其权值一定可以无限减小。假设不选用这条实边，那么最小生成树将被分成两部分。那么连接这两部分的虚边将有可能替代这条实边。假设有可能的虚边中权值最小为w，那么这条实边的上限为w。
参考程序
1 #include <map>
2 #include <set>
3 #include <stack>
4 #include <queue>
5 #include <cmath>
6 #include <ctime>
7 #include <string>
8 #include <vector>
9 #include <cstdio>
10 #include <cstdlib>
11 #include <cstring>
12 #include <cassert>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
16 using namespace std;
17
18 #define V 10008
19 #define E 200008
20 #define LL long long
21 #define lson l,m,rt<<1
22 #define rson m+1,r,rt<<1|1
23 #define clr(x,v) memset(x,v,sizeof(x));
24 #define bitcnt(x) __builtin_popcount(x)
25 #define rep(x,y,z) for (int x=y;x<=z;x++)
26 #define repd(x,y,z) for (int x=y;x>=z;x--)
27 const int mo = 1000000007;
28 const int inf = 0x3f3f3f3f;
29 const int INF = 2000000000;
30 /**************************************************************************/
31 int n,m,sum,cnt;
32 int lt[V],dep[V],son[V],w[V],rk[V],fa[V],top[V],size[V];
33 int a[E],b[E];
34
35 struct line{
36 int u,v,w,nt;
37 line(int u=0,int v=0,int w=0,int nt=0):u(u),v(v),w(w),nt(nt){}
38 }eg[E],EG[E];
39 void add(int u,int v,int w){
40 eg[++sum]=line(u,v,w,lt[u]); lt[u]=sum;
41 }
42 void dfs_1(int u){
43 dep[u]=dep[fa[u]]+1; size[u]=1; son[u]=0;
44 for (int i=lt[u];i;i=eg[i].nt){
45 int v=eg[i].v;
46 if (v==fa[u]) continue;
47 fa[v]=u;
48 dfs_1(v);
49 if (size[v]>size[son[u]]) son[u]=v;
50 size[u]+=size[v];
51 }
52 }
53 void dfs_2(int u,int tp){
54 top[u]=tp; w[u]=++cnt; rk[cnt]=u;
55 if (son[u]) dfs_2(son[u],tp);
56 for (int i=lt[u];i;i=eg[i].nt){
57 int v=eg[i].v;
58 if (v==fa[u]||v==son[u]) continue;
59 dfs_2(v,v);
60 }
61 }
62 struct Segment_Tree{
63 int mx[V<<2],lazy[V<<2];
64 inline void pushup(int rt){
65 mx[rt]=max(mx[rt<<1],mx[rt<<1|1]);
66 }
67 inline void pushdown(int rt){
68 if (lazy[rt]!=-INF){
69 lazy[rt<<1]=max(lazy[rt<<1],lazy[rt]);
70 lazy[rt<<1|1]=max(lazy[rt<<1|1],lazy[rt]);
71 mx[rt<<1]=max(mx[rt<<1],lazy[rt]);
72 mx[rt<<1|1]=max(mx[rt<<1|1],lazy[rt]);
73 lazy[rt]=-INF;
74 }
75 }
76 void build(int l,int r,int rt){
77 mx[rt]=-INF; lazy[rt]=-INF;
78 if (l==r) return;
79 int m=(l+r)>>1;
80 build(lson);
81 build(rson);
82 pushup(rt);
83 }
84 void update(int L,int R,int val,int l,int r,int rt){
85 if (L<=l && r<=R){
86 lazy[rt]=max(val,lazy[rt]);
87 mx[rt]=max(mx[rt],val);
88 return;
89 }
90 pushdown(rt);
91 int m=(l+r)>>1;
92 if (L <= m) update(L,R,val,lson);
93 if (m < R) update(L,R,val,rson);
94 pushup(rt);
95 }
96 int query(int L,int R,int l,int r,int rt){
97 if (L<=l && r<=R){
98 return mx[rt];
99 }
100 pushdown(rt);
101 int m=(l+r)>>1;
102 int res=-INF;
103 if (L <= m) res=max(res,query(L,R,lson));
104 if (m < R) res=max(res,query(L,R,rson));
105 return res;
106 }
107 }T1,T2;
108 int find(int x,int y){
109 int res=-INF;
110 while (top[x]!=top[y]){
111 if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
112 res=max(res,T1.query(w[top[x]],w[x],1,n,1));
113 x=fa[top[x]];
114 }
115 if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
116 res=max(res,T1.query(w[x]+1,w[y],1,n,1));
117 return res;
118 }
119 void change(int x,int y,int val){
120 while (top[x]!=top[y]){
121 if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y);
122 T2.update(w[top[x]],w[x],val,1,n,1);
123 x=fa[top[x]];
124 }
125 if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
126 T2.update(w[x]+1,w[y],val,1,n,1);
127 }
128 int main(){
129 int T,cas=0;
130 scanf("%d",&T);
131 while (T--){
132 clr(lt,0); sum=1; cnt=0;
133
134 scanf("%d%d",&n,&m);
135 for (int i=1;i<n;i++){
136 int u,v,w;
137 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
138 add(u,v,w); add(v,u,w);
139 EG[i]=line(u,v,w);
140 }
141 for (int i=n;i<=m;i++){
142 int u,v,w;
143 scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
144 EG[i]=line(u,v,w);
145 }
146 dfs_1(1);
147 dfs_2(1,1);
148 T1.build(1,n,1);
149 T2.build(1,n,1);
150 for (int i=1;i<n;i++){
151 if (dep[EG[i].u]>dep[EG[i].v]) swap(EG[i].u,EG[i].v);
152 T1.update(w[EG[i].v],w[EG[i].v],EG[i].w,1,n,1);
153 }
154 for (int i=n;i<=m;i++){
155 int tmp=find(EG[i].u,EG[i].v);
156 b[i]=tmp==-INF?-1:EG[i].w-tmp;
157 change(EG[i].u,EG[i].v,-EG[i].w);
158 }
159 for (int i=1;i<n;i++){
160 int tmp=T2.query(w[EG[i].v],w[EG[i].v],1,n,1);
161 a[i]=tmp==-INF?-1:-tmp-EG[i].w;
162 }
163 LL res=0;
164 for (int i=1;i<n;i++) res=res+1ll*i*a[i]+1ll*i*i*-1;
165 for (int i=n;i<=m;i++) res=res+1ll*i*-1+1ll*i*i*b[i];
166
167 printf("Case %d: %lld\n",++cas,res );
168 }
169 }
时间： 2024-08-08 01:49:04