前言：

　　本节来练习下logistic regression相关内容，参考的资料为网页：http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/DocumentPage.php?course=DeepLearning&doc=exercises/ex4/ex4.html。这里给出的训练样本的特征为80个学生的两门功课的分数，样本值为对应的同学是否允许被上大学，如果是允许的话则用’1’表示，否则不允许就用’0’表示，这是一个典型的二分类问题。在此问题中，给出的80个样本中正负样本各占40个。而这节采用的是logistic regression来求解，该求解后的结果其实是一个概率值，当然通过与0.5比较就可以变成一个二分类问题了。

实验数据：

下载数据 ex4Data.zip

    实验基础：

　　在logistic regression问题中，logistic函数表达式如下：

　　这样做的好处是可以把输出结果压缩到0~1之间。而在logistic回归问题中的损失函数与线性回归中的损失函数不同，这里定义的为：

　　如果采用牛顿法来求解回归方程中的参数，则参数的迭代公式为：

　　其中一阶导函数和hessian矩阵表达式如下：

可能有些朋友，不太清楚上面这两个式子是怎么推导出来的，第一个式子比较简单就是J对theta求导，一阶导数而已，具体求导过程可以参考牛顿方法、指数分布族、广义线性模型—斯坦福ML公开课笔记4中的总结2，而第二个式子就是对对第一个式子再次求导，相当于J的二阶导数。至于为什么要求一阶导数与二阶导数不清楚的可参考总结2以及上文。

　　一些matlab函数：

　　find:

　　是找到的一个向量，其结果是find函数括号值为真时的值的下标编号。

　　inline:

　　构造一个内嵌的函数，很类似于我们在草稿纸上写的数学推导公式一样。参数一般用单引号弄起来，里面就是函数的表达式，如果有多个参数，则后面用单引号隔开一一说明。比如：g = inline(‘sin(alpha*x)‘,‘x‘,‘alpha‘)，则该二元函数是g(x,alpha) = sin(alpha*x)。

　　实验结果：

　　训练样本的分布图以及所学习到的分类界面曲线：

　　损失函数值和迭代次数之间的曲线：

　　最终输出的结果：

　　可以看出当一个小孩的第一门功课为20分，第二门功课为80分时，这个小孩不允许上大学的概率为0.6680，因此如果作为二分类的话，就说明该小孩不会被允许上大学。

　　实验代码（原网页提供）：

% Exercise 4 -- Logistic Regression

clear all; close all; clc

x = load(‘ex4x.dat‘); 
y = load(‘ex4y.dat‘);%加载数据

[m, n] = size(x);    %数据为m行n列

% Add intercept term to x
x = [ones(m, 1), x]; 

% Plot the training data
% Use different markers for positives and negatives
figure
pos = find(y); neg = find(y == 0);%正例与反例
plot(x(pos, 2), x(pos,3), ‘+‘)    %正例用“+”，反例用“o”标注
hold on
plot(x(neg, 2), x(neg, 3), ‘o‘)
hold on
xlabel(‘Exam 1 score‘)
ylabel(‘Exam 2 score‘)

% Initialize fitting parameters
theta = zeros(n+1, 1);

% Define the sigmoid function
g = inline(‘1.0 ./ (1.0 + exp(-z))‘); 

% Newton‘s method
MAX_ITR = 7;
J = zeros(MAX_ITR, 1);

for i = 1:MAX_ITR
    % Calculate the hypothesis function
    z = x * theta;
    h = g(z);
    
    % Calculate gradient and hessian.
    % The formulas below are equivalent to the summation formulas
    % given in the lecture videos.
    grad = (1/m).*x‘ * (h-y);
    H = (1/m).*x‘ * diag(h) * diag(1-h) * x;
    
    % Calculate J (for testing convergence)
    J(i) =(1/m)*sum(-y.*log(h) - (1-y).*log(1-h));
    
    theta = theta - H\grad;
end
% Display theta
theta

% Calculate the probability that a student with
% Score 20 on exam 1 and score 80 on exam 2 
% will not be admitted
prob = 1 - g([1, 20, 80]*theta)

% Plot Newton‘s method result
% Only need 2 points to define a line, so choose two endpoints
plot_x = [min(x(:,2))-2,  max(x(:,2))+2];
% Calculate the decision boundary line
plot_y = (-1./theta(3)).*(theta(2).*plot_x +theta(1));
plot(plot_x, plot_y)
legend(‘Admitted‘, ‘Not admitted‘, ‘Decision Boundary‘)
hold off

% Plot J
figure
plot(0:MAX_ITR-1, J, ‘o--‘, ‘MarkerFaceColor‘, ‘r‘, ‘MarkerSize‘, 8)
xlabel(‘Iteration‘); ylabel(‘J‘)
% Display J
J 

参考文献：

http://openclassroom.stanford.edu/MainFolder/DocumentPage.php?course=DeepLearning&doc=exercises/ex4/ex4.html

http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2013/03/16/2963919.html