18.6 Describe an algorithm to find the smallest one million numbers in one billion numbers. Assume that the computer memory can hold all one billion numbers.
这道题让我们在十亿个数字中找到最小的一百万个数字，而且限定了计算机只有能存十亿个数字的内存。这题有三种解法，排序，最小堆，和选择排序。
首先来看排序方法，这种方法简单明了，就是把这十亿个数字按升序排列，然后返回前一百万个即可，时间复杂度是O(nlgn)。
然后来看最小堆做法，我们建立一个最大堆(大的数字在顶端)，然后将前一百万个数字加进去。然后我们开始遍历剩下的数字，对于每一个数字，我们将其加入堆中，然后删掉堆中最大的数字。遍历接受后，我们就有了一百万个最小的数字，时间复杂度是O(nlgm)，其中m是我们需要找的数字个数。
最后我们来看选择排序的方法，这种方法可以在线性时间内找到第i个最大或最小的数，如果数字都不是不同的，那么我们可以在O(n)的时间内找到第i个最小的数字，算法如下：
1. 随机选取数组中的一个数字当做pivot，然后以此来分割数组，记录分割处左边的数字的个数。
2. 如果左边正好有i个数字，那么返回左边最大的数字。
3. 如果左边数字个数大于i，那么继续在左边递归调用这个方法。
4. 如果左边数字个数小于i，那么在右边递归调用这个方法，但是此时的rank变为i - left_size。
参见代码如下：
int partition(vector<int> &array, int left, int right, int pivot) {
while (true) {
while (left <= right && array[left] <= pivot) ++left;
while (left <= right && array[right] > pivot) --right;
if (left >right) return left - 1;
swap(array[left], array[right]);
}
}
int find_max(vector<int> &array, int left, int right) {
int res = INT_MIN;
for (int i = left; i <= right; ++i) {
res = max(res, array[i]);
}
return res;
}
int selection_rank(vector<int> &array, int left, int right, int rank) {
int pivot = array[rand() % (right - left + 1) + left];
int left_end = partition(array, left, right, pivot);
int left_size = left_end - left + 1;
if (left_size == rank + 1) return find_max(array, left, left_end);
else if (rank < left_size) return selection_rank(array, left, left_end, rank);
else return selection_rank(array, left_end + 1, right, rank - left_size);
}
一旦找到了第i个最小的数字后，就可以遍历整个数组来找所有小于等于该数字的元素。当数组有重复元素的话，需要修改一些地方，但是时间就不能保证是线性的了。其实也有算法能线性时间内处理有重复的数组，但是比较复杂，有兴趣的请自行搜索研究。