用途
比线性更快($O(n^{\frac{2}{3}})$)地求积性函数的前缀和
前置知识：狄利克雷卷积
形如$h(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$，则称$h(n)=f(x)*g(x)$
如果f和g都是积性函数，则卷出的h也是积性函数
可以证明，狄利克雷卷积满足交换律、结合律、分配律
比较重要的卷积式子（抄的..）：
$$\mu*1=\varepsilon , \varepsilon(n)=[n=1]$$
$$\varphi*1=id , id(n)=n $$
$$id*\mu=\varphi$$
$$id*1=\sigma , \sigma表示因数和$$
做法
设要求的是$\sum{f(i)}$
构造积性函数$h,g$，使得$h=g*f$,而且需要容易求出$h$和$g$的前缀和
推式子：设S(n)是f的前缀和（以下不是整除的都向下取整）
$$\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}g(d)f(\frac{n}{d})$$
$$\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)\sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}f(i)$$
$$\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=\sum\limits_{d=1}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$$
$$把后面的第一项提出来，\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)=g(1)S(n)+\sum\limits_{d=2}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$$
$$g(1)S(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}h(i)-\sum\limits_{d=2}^{n}g(d)S(\frac{n}{d})$$
于是就可以整除分块，然后递归地求S了（需要先手动求出比较小范围内的S）
需要记忆化，不想带log的话可以用unordered_map（c++11或者tr1/unordered_map）或者手写hash
而且一开始求的那些S不要放到map里，单开一个数组存，不然常数会很大
所以主要是构造比较难构造，看着上面的卷积式瞎怼吧...
例题
bzoj4916 神犇和蒟蒻
注意到$\varphi (i^2) = i\varphi(i)$
然后构造$g=id , h=id^2$即可
1 #include<bits/stdc++.h>
2 #include<tr1/unordered_map>
3 #define CLR(a,x) memset(a,x,sizeof(a))
4 #define MP make_pair
5 using namespace std;
6 typedef long long ll;
7 typedef unsigned long long ull;
8 typedef pair<int,int> pa;
9 const int maxn=1e5+10,P=1e9+7,inv6=166666668;
10
11 inline ll rd(){
12 ll x=0;char c=getchar();int neg=1;
13 while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘) neg=-1;c=getchar();}
14 while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) x=x*10+c-‘0‘,c=getchar();
15 return x*neg;
16 }
17
18 int N,phi[maxn],pri[maxn],cnt;
19 bool np[maxn];
20 tr1::unordered_map<int,int> sum;
21
22 inline int calc(int n){
23 if(sum.count(n)) return sum[n];
24 ll re=0;
25 re=1ll*n*(n+1)%P*(2*n+1)%P*inv6%P;
26 for(int i=2,j;i<=n;i=j+1){
27 j=n/(n/i);
28 re=(re-1ll*(j-i+1)*(j+i)/2%P*calc(n/i))%P;
29 }
30 sum[n]=re;
31 return re;
32 }
33
34 int main(){
35 //freopen("","r",stdin);
36 int i,j,k;
37 phi[1]=1;
38 for(i=2;i<=1e5;i++){
39 if(!np[i]){
40 pri[++cnt]=i;
41 phi[i]=i-1;
42 }for(j=1;j<=cnt&&pri[j]*i<=1e5;j++){
43 np[i*pri[j]]=1;
44 if(i%pri[j]==0){
45 phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
46 break;
47 }
48 phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
49 }
50 }
51 sum[0]=0;
52 for(i=1;i<=1e5;i++){
53 sum[i]=(sum[i-1]+1ll*i*phi[i])%P;
54 }
55 printf("1\n%d\n",(calc(rd())+P)%P);
56 return 0;
57 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/Ressed/p/10228376.html