这篇文章是对《算法导论》上Prim算法求无向连通图最小生成树的一个总结，其中有关于我的一点点小看法。
最小生成树的具体问题可以用下面的语言阐述：
输入：一个无向带权图G=(V,E)，对于每一条边(u,
v)属于E，都有一个权值w。
输出：这个图的最小生成树，即一棵连接所有顶点的树，且这棵树中的边的权值的和最小。
举例如下，求下图的最小生成树：
这个问题是求解一个最优解的过程。那么怎样才算最优呢？
首先我们考虑最优子结构：如果一个问题的最优解中包含了子问题的最优解，则该问题具有最优子结构。
最小生成树是满足最优子结构的，下面会给出证明：
最优子结构描述：假设我们已经得到了一个图的最小生成树(MST) T，(u,
v)是这棵树中的任意一条边。如图所示：
现在我们把这条边移除，就得到了两科子树T1和T2，如图：
T1是图G1=(V1,
E1)的最小生成树，G1是由T1的顶点导出的图G的子图，E1={(x,
y)∈E, x, y ∈V1}
同理可得T2是图G2=(V2,
E2)的最小生成树，G2是由T2的顶点导出的图G的子图，E2={(x,
y)∈E, x, y ∈V2}
现在我们来证明上述结论：使用剪贴法。w(T)表示T树的权值和。
首先权值关系满足：w(T) = w(u, v)+w(T1)+w(T2)
假设存在一棵树T1‘比T1更适合图G1，那么就存在T‘={(u,v)}UT1‘UT2‘，那么T‘就会比T更适合图G，这与T是最优解相矛盾。得证。
因此最小生成树具有最优子结构，那么它是否还具有重叠子问题性质呢？我们可以发现，不管删除那条边，上述的最优子结构性质都满足，都可以同样求解，因此是满足重叠子问题性质的。
考虑到这，我们可能会想：那就说明最小生成树可以用动态规划来做咯？对，可以，但是它的代价是很高的。
我们还能发现，它还有个更强大的性质：贪心选择性质。因而可用贪心算法完成。
贪心算法特点：一个局部最优解也是全局最优解。
最小生成树的贪心选择性质：令T为图G的最小生成树，另A?V，假设边(u, v)∈E是连接着A到A的补集（也就是V-A)的最小权值边，那么(u,
v)属于最小生成树。
证明：假设(u, v)?T， 使用剪贴法。现在对下图进行分析，图中A的点用空心点表示，V-A的点用实心点表示：
在T树中，考虑从u到v的一条简单路径（注意现在(u, v)不在T中），根据树的性质，它是唯一的。
现在把(u, v)和这条路上中的第一条连接A和V-A的边交换，即画红杠的那条边，边(u,
v)是连接A和V-A的权值最小边，那我们就得到了一棵更小的树，这就与T是最小 生成树矛盾。得证。
现在呢，我们来看看Prim的思想：Prim算法的特点是集合E中的边总是形成单棵树。树从任意根顶点s开始，并逐渐形成，直至该树覆盖了V中所有顶点。每次添加到树中的边都是使树的权值尽可能小的边。因而上述策略是“贪心”的。
算法的输入是无向连通图G=(V,
E)和待生成的最小生成树的根r。在算法的执行过程中，不在树中的所有顶点都放在一个基于key域的最小优先级队列Q中。对每个顶点v来说，key[v]是所有将v与树中某一顶点相连的边中的最小权值；按规定如果不存在这样的边，则key[v]=∞。
实现Prim算法的伪代码如下所示：
MST-PRIM(G, w, r)
for each u∈V
do key[u] ← ∞
parent[u]← NIL
key[r] ← 0
Q ← V
while Q ≠?
do u ← EXTRACT-MIN(Q)
for each v∈Adj[u]
do if v∈Q and w(u, v) < key[v]
then parent[v] ← u
key[v] ← w(u, v)
其工作流程为：
（1）首先进行初始化操作，将所有顶点入优先队列，队列的优先级为权值越小优先级越高
（2）取队列顶端的点u，找到所有与它相邻且不在树中的顶点v，如果w(u, v) <
key[v]，说明这条边比之前的更优，加入到树中，即更改父节点和key值。这中间还 隐含着更新Q的操作（降key值）
（3）重复2操作，直至队列空为止。
（4）最后我们就得到了两个数组，key[v]表示树中连接v顶点的最小权值边的权值，parent[v]表示v的父结点。
现在呢，我们发现一个问题，这里要用到优先队列来实现这个算法，而且每次搜索邻接表都要进行队列更新的操作。
不管用什么方法，总共用时为O(V*T(EXTRACTION)+E*T(DECREASE))
（1）如果用数组来实现，总时间复杂度为O(V2)
（2）如果用二叉堆来实现，总时间复杂度为O(ElogV)
（3）如果使用斐波那契堆，总时间复杂度为O(E+VlogV)
上面的三种方法，越往下时间复杂度越好，但是实现难度越高，而且每次对最小优先队列的更新是非常麻烦的，那么，有没有一种方法，可以不更新优先队列也达到同样的 效果呢？
答案是：有。
其实只需要简单的操作就可以达到。首次只将根结点入队列。第一次循环，取出队列顶结点，将其退队列，之后找到队列顶的结点的所有相邻顶点，若有更新，则更新它们的key值后，再将它们压入队列。重复操作直至队列空为止。因为对树的更新是局部的，所以只需将相邻顶点key值更新即可。push操作的复杂度为O(logV)，而且省去了之前将所有顶点入队列的时间，因而总复杂度为O(ElogV)。
具体实现代码，优先队列可以用STL实现：
1 #include <iostream>
2 #include <cstdio>
3 #include <vector>
4 #include <queue>
5 using namespace std;
6
7 #define maxn 100 //最大顶点个数
8 int n, m; //顶点数，边数
9
10 struct arcnode //边结点
11 {
12 int vertex; //与表头结点相邻的顶点编号
13 int weight; //连接两顶点的边的权值
14 arcnode * next; //指向下一相邻接点
15 arcnode() {}
16 arcnode(int v,int w):vertex(v),weight(w),next(NULL) {}
17 };
18
19 struct vernode //顶点结点，为每一条邻接表的表头结点
20 {
21 int vex; //当前定点编号
22 arcnode * firarc; //与该顶点相连的第一个顶点组成的边
23 }Ver[maxn];
24
25 void Init() //建立图的邻接表需要先初始化，建立顶点结点
26 {
27 for(int i = 1; i <= n; i++)
28 {
29 Ver[i].vex = i;
30 Ver[i].firarc = NULL;
31 }
32 }
33
34 void Insert(int a, int b, int w) //插入以a为起点，b为终点，权为w的边
35 {
36 arcnode * q = new arcnode(b, w);
37 if(Ver[a].firarc == NULL)
38 Ver[a].firarc = q;
39 else
40 {
41 arcnode * p = Ver[a].firarc;
42 q->next = p;
43 Ver[a].firarc = q;
44 }
45 }
46
47 struct node //保存key值的结点
48 {
49 int v;
50 int key;
51 friend bool operator<(node a, node b) //自定义优先级，key小的优先
52 {
53 return a.key > b.key;
54 }
55 };
56
57 #define INF 9999 //权值上限
58 int parent[maxn]; //每个结点的父节点
59 bool visited[maxn]; //是否已经加入树种
60 node vx[maxn]; //保存每个结点与其父节点连接边的权值
61 priority_queue<node> q; //优先队列stl实现
62 void Prim(int s) //s表示根结点
63 {
64 for(int i = 1; i <= n; i++) //初始化
65 {
66 vx[i].v = i;
67 vx[i].key = INF;
68 parent[i] = -1;
69 visited[i] = false;
70 }
71 vx[s].key = 0;
72 q.push(vx[s]);
73 while(!q.empty())
74 {
75 node nd = q.top(); //取队首，记得赶紧pop掉
76 visited[nd.v] = true;
77 q.pop();
78 arcnode * p = Ver[nd.v].firarc;
79 while(p != NULL) //找到所有相邻结点，若未访问，则入队列
80 {
81 if(!visited[p->vertex] && p->weight < vx[p->vertex].key)
82 {
83 parent[p->vertex] = nd.v;
84 vx[p->vertex].key = p->weight;
85 vx[p->vertex].v = p->vertex;
86 q.push(vx[p->vertex]);
87 }
88 p = p->next;
89 }
90
91 }
92 }
93
94 int main()
95 {
96 int a, b ,w;
97 cout << "输入n和m: ";
98 cin >> n >> m;
99 Init();
100 cout << "输入所有的边:" << endl;
101 while(m--)
102 {
103 cin >> a >> b >> w;
104 Insert(a, b, w);
105 Insert(b, a, w);
106 }
107 Prim(1);
108 cout << "输出所有结点的父结点:" << endl;
109 for(int i = 1; i <= n; i++)
110 cout << parent[i] << " ";
111 cout << endl;
112 cout << "最小生成树权值为：";
113 int cnt = 0;
114 for(int i = 1; i <= n; i++)
115 cnt += vx[i].key;
116 cout << cnt << endl;
117 return 0;
118 }
运行结果如下（基于第一个例子）：
望支持，谢谢。