数论某些题目

平面上有一个圆, 圆心坐标为(0,0),半径为n. 问圆周上有多少个整点. 整点的定义即x,y坐标均为整数的点.

做题过程：思考后感觉有点难度，可能用到一些奇怪的知识，于是决定去看题解；

题解：

1.一般人都能想到x²+y²=r²这一点，但是仅想到这一点并没什么用；

2.变形：

　　　移项得：r²-x²=y²

　　　得y²=(r-x)(r+x)

　　　设d=gcd((r-x),(r+x))

　　　则设A=(r-x)/d,B=(r+x)/d

　　　代入原式得 y²=ABd²

　　　因为gcd(A,B)=1

　　　所以A,B均为完全平方数

　　　设a²=A,b²=B

　　　可得a²+b²=2r/d

3.得到上面的式子，d很显然是2r的约数，可以枚举d；

在枚举d时，可以枚举a，算出b，若gcd(a,b)等于1，则ans++即可；

个人理解：实际上它这个最后的式子相比于最初的式子有什么优点呢？

第一个是r的次数由2次方变成了一次方，于是就可以发现原来的一个O(n)级别的算法成了根号级别的算法；

本质上是通过数学运算除去原本枚举时的无用状态；

代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string>
 5 #include<ctime>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<cstdlib>
 8 #include<map>
 9 #include<set>
10 #include<vector>
11 #include<queue>
12 using namespace std;
13 #define FILE "dealing"
14 #define LL long long
15 #define up(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
16 #define pii pair<int,int>
17 #define piii pair<int,pair<int,int> >
18 template<typename T> inline bool chkmin(T &a,T b){return a>b?a=b,true:false;}
19 namespace IO{
20     char *fs,*ft,buf[1<<15];
21     inline char gc(){return (fs==ft&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),fs==ft))?0:*fs++;}
22     inline int read(){
23         int x=0,ch=gc();bool f=0;
24         while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=1;ch=gc();}
25         while(ch<=‘9‘&&ch>=‘0‘){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=gc();}
26         return f?-x:x;
27     }
28 }using namespace IO;
29 namespace OI{
30     LL n;
31     LL gcd(LL a,LL b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
32     LL cnt=0;
33     void slove(){
34         scanf("%lld",&n);
35         for(LL d=1;d*d<=2*n;d++){
36             if(!(2*n%d)){
37                 for(LL a=1;a*a<=(n/d);a++){
38                     LL b=(LL)sqrt(2.0*n/d-a*a);
39                     if(a*a+b*b==2*n/d&&gcd(a,b)==1&&a!=b)cnt++;
40                 }
41                 d=2*n/d;
42                 for(LL a=1;a*a<=(n/d);a++){
43                     LL b=(LL)sqrt(2.0*n/d-a*a);
44                     if(a*a+b*b==2*n/d&&gcd(a,b)==1&&a!=b)cnt++;
45                 }
46                 d=2*n/d;
47             }
48         }
49         cnt=4*cnt+4;
50         printf("%lld\n",cnt);
51     }
52 }
53 int main(){
54     freopen(FILE".in","r",stdin);
55     freopen(FILE".out","w",stdout);
56     using namespace OI;
57     slove();
58     return 0;
59 }