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一、向量的内积
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1.1向量内积的定义
概括地说,向量的内积(点乘/点积/数量积)就是对两个向量执行点乘运算,即对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作,如下所示,对于向量a和向量b:
a和b的点积公式为:
这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意:点乘的结果是一个标量(数量而不是向量).
定义:两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b),特别地,0·a =a·0 = 0;若a,b是非零向量,则a与b正交的充要条件是a·b = 0。
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1.2向量内积的性质
- a^2 ≥ 0;当a^2 = 0时,必有a = 0(正定性)
- a·b = b·a (对称性)
- (λa + μb)·c = λa·c + μb·c,对任意实数λ, μ成立(线性)
- cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|)
- |a·b| ≤ |a||b|,等号只在a与b共线时成立
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1.3向量内积的几何意义
内积(点乘)的几何意义包括:
- 表征或计算两个向量之间的夹角
- b向量在a向量方向上的投影
公式推导过程如下,首先看一下向量组成:
根据余弦定理有:
将c=a-b带入上式中得出:
因此可以得出:
向量a,b的长度都是可以计算的已知量,从而有a和b间的夹角θ:
进而可以进一步判断两个向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向关系,具体对应关系为:
a?b>0→方向基本相同,夹角在0°到90°之间
a?b=0→ 正交,相互垂直
a?b<0→ 方向基本相反,夹角在90°到180°之间
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二、向量的外积
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2.1向量外积的定义
概括地说,两个向量的外积,又叫叉乘、叉积向量积,其运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的外积与这两个向量组成的坐标平面垂直。
定义:向量a与b的外积a×b是一个向量,其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b),其方向正交于a与b。并且,(a,b,a×b)构成右手系。 特别地,0×a = a×0 = 0.此外,对任意向量a,a×a=0。
对于向量a和向量b:
a和b的外积公式为:
其中:
根据i、j、k间关系,有:
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2.2向量外积的性质
- a × b = -b × a. (反称性)
- (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). (线性)
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2.3向量外积的几何意义
在三维几何中,向量a和向量b的外积结果称为法向量,该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中,外积的概念非常有用,可以通过两个向量的外积,生成第三个垂直于a,b的法向量,从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示:
在二维空间中,外积还有另外一个几何意义:|a×b|在数值上等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。
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