《数据结构复习笔记》--哈夫曼树，哈夫曼编码

先来了解一下哈夫曼树.

带权路径长度(WPL)：设二叉树有n个叶子结点，每个叶子结点带有权值 wk，从根结点到每个叶子结点的长度为 lk，则每个叶子结点的带权路径长度之和就是：

最优二叉树或哈夫曼树: WPL最小的二叉树。

〖例〗有五个叶子结点，它们的权值为{1,2,3,4,5}，用此权值序列可以构造出形状不同的多个二叉树。

其中结果wpl最小值的是：33=（1+2）*3+（3）*2+（4+5）*2；

哈夫曼树的构造；

每次把权值最小的两棵二叉树合并，

代码：

typedef struct TreeNode *HuffmanTree;
struct TreeNode
{
    int Weight;
    HuffmanTree Left, Right;
}
HuffmanTree Huffman( MinHeap H )
{
    /* 假设H->Size个权值已经存在H->Elements[]->Weight里 */
    int i;
    HuffmanTree T;
    BuildMinHeap(H); /*将H->Elements[]按权值调整为最小堆*/
    for (i = 1; i < H->Size; i++)   /*做H->Size-1次合并*/
    {
        T = malloc( sizeof( struct TreeNode) ); /*建立新结点*/
        T->Left = DeleteMin(H);
        /*从最小堆中删除一个结点，作为新T的左子结点*/
        T->Right = DeleteMin(H);
        /*从最小堆中删除一个结点，作为新T的右子结点*/
        T->Weight = T->Left->Weight+T->Right->Weight;
        /*计算新权值*/
        Insert( H, T ); /*将新T插入最小堆*/
    }
    T = DeleteMin(H);
    return T;
}
整体复杂度为O(N logN)

哈夫曼树的特点:

（1）没有度为1的结点；

（2）哈夫曼树的任意非叶节点的左右子树交换后仍是哈夫曼树；

（3）n个叶子结点的哈夫曼树共有2n-1个结点；

（4）对同一组权值{w1 ,w2 , …… , wn}，是否存在不同构的两棵哈夫曼树呢？

对一组权值{ 1, 2 , 3, 3 }，不同构的两棵哈夫曼树：

再简单说一下哈夫曼编码：

哈夫曼编码

比如给定一段字符串，如何对字符进行编码，可以使得该字符串的编码存储空间最少？

[例] 假设有一段文本，包含58个字符，并由以下7个字符构：a，e，i，s，t，空格（sp），换行（nl）；这7个字符出现的次数不同。如何对这7个字符进行编码，使得总编码空间最少？

【分析】

（1）用等长ASCII编码：58 ×8 = 464位；

（2）用等长3位编码：58 ×3 = 174位；

（3）不等长编码：出现频率高的字符用的编码短些，出现频率低的字符则可以编码长些？

怎么进行不等长编码？   如何避免二义性？

前缀码prefix code：任何字符的编码都不是另一字符编码的前缀

可以无二义地解码

可以看到，所有需要编码的字符都在构造的树的叶子节点。