1. ($15‘$) 设 $A$ 是数域 $\bbP$ 上的 $r\times r$ 阶矩阵, $D$ 是 $s\times s$ 阶矩阵, $\dps{M=\sex{\ba{cc} A&B\\ C&D \ea}}$, 并且 $\rank(M)=\rank(A)=r$. 证明: $D=CA^{-1}B$.
证明: 由 $\rank(A)=r$ 知 $A$ 可逆, 而又由 $$\bex \sex{\ba{cc} E&0\\ -CA^{-1}&E \ea}\sex{\ba{cc} A&B\\ C&D \ea}\sex{\ba{cc} E&-A^{-1}B\\ 0&E \ea}=\sex{\ba{cc} A&0\\ 0&D-CA^{-1}B \ea}. \eex$$ 知 $\rank(M)=\rank(A)+\rank(D-CA^{-1}B)$. 于是 $\rank(D-CA^{-1}B)=0$, $D=CA^{-1}B$.
2. ($15‘$) 设 $A$ 是数域 $\bbP$ 上的 $m\times n$ 矩阵, $\al_1,\cdots,\al_t$ 是齐次线性方程组 $Ax=0$ 的线性无关的解, $A\beta\neq 0$. 证明: $\beta,\beta+\al_1,\cdots,\beta+\al_t$ 线性无关.
证明: 设 $$\bee\label{306_2_eq} k_0\beta+k_1(\beta+\al_1)+\cdots+k_t(\beta+\al_t)=0, \eee$$则用 $A$ 作用后有 $$\bex (k_0+k_1+\cdots+k_t)A\beta=0. \eex$$ 由 $A\beta\neq 0$ 知 $$\bex k_0+k_1+\cdots+k_t=0. \eex$$ 代入 \eqref{306_2_eq} 得 $$\beex \bea 0&=(k_0+k_1+\cdots+k_t)\beta+k_1\al_1+\cdots+k_t\al_t\\ &=k_1\al_1+\cdots+k_t\al_t. \eea \eeex$$ 由 $\al_1,\cdots,\al_t$ 线性无关即知 $k_1=\cdots=k_t=0$. 进一步, $k_0=0$.
3. ($30‘$) 设 $\bbP$ 是数域, $$\bex V=\sed{f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0;\ a_i\in\bbP,\ i=0,1,\cdots,n}. \eex$$
(1) 证明 $V$ 关于多项式的加法和数量乘法构成数域 $\bbP$ 上的线性空间;
(2) 对 $\forall\ f(x)\in V$, 规定 $\scrA:\ f(x)\mapsto f(x)-xf‘(x)$, 证明 $\scrA$ 是线性变换;
(3) 求线性变换 $\scrA$ 在基 $1,x,x^2,\cdots,x^n$ 下的矩阵.
证明: (1),
(2) 显然. 对 (3), 由 $$\beex \bea \scrA(1)&=1,\\ \scrA(x^i)=x^i-x\cdot ix^{i-1}=(1-i)x^i,\quad (i=1,2,\cdots,n) \eea \eeex$$ 知 $$\bex \scrA(1,x,x^2,\cdots, x^n) =(1,x,x^2,\cdots,x^n)\diag(1,0,-1,\cdots,1-n). \eex$$
4. ($20‘$) 设 $A$ 是 $n\times n$ 阶复矩阵, $A^k=0$, $\lm_1,\cdots,\lm_r$ 是 $A$ 的所有非零的特征值.
(1) 证明 $E-A$ 是可逆矩阵, 并求 $(E-A)^{-1}$;
(2) 求 $(E-A)^{-1}$ 的所有特征值.
证明: 其实, $A$ 的所有特征值均为 $0$: $$\bex Ax=\lm x\ (x\neq 0)\ra 0=A^k x=\lm^kx\ra \lm^k=0\ra \lm=0. \eex$$
(1) $$\beex \bea A^k=0&\ra E-A^k=E\\ &\ra (E-A)(E+A+A^2+\cdots+A^{k-1})=E\\ &\ra (E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}. \eea \eeex$$
(2) $(E-A)^{-1}$ 的特征值为 $1$ ($n$ 重).
5. ($20‘$) 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵, $B$ 是 $n$ 阶半正定矩阵.
(1) 证明 $A^{-1}$ 是 $n$ 阶正定矩阵;
(2) 求实的可逆矩阵 $T$, 使得 $$\bex T^T(A^{-1}+B)T=\diag(a_1,a_2,\cdots,a_n) \eex$$ 是对角阵, 并说明主对角线上的元素 $a_i>0$, $i=1,2,\cdots,n$.
证明: 我无话可说. 结论自明.
6. ($20‘$) 设 $A=(a_{ij})$ 是 $n$ 阶矩阵, $\tr(A)=\sum a_{ii}$ 是主对角线上元素之和, $\bbP^{2\times 2}$ 表示数域 $\bbP$ 上所有二阶矩阵构成的集合, $\forall\ A\in \bbP^{2\times 2}$, 规定 $$\bex f:\ A\mapsto \tr(A). \eex$$
(1) 证明 $f$ 是线性空间 $\bbP^{2\times 2}$ 的线性函数;
(2) 记 $$\bex E_{11}=\sex{\ba{cc} 1&0\\ 0&0 \ea},\quad E_{12}=\sex{\ba{cc} 0&1\\ 0&0 \ea},\quad E_{21}=\sex{\ba{cc} 0&0\\ 1&0 \ea},\quad E_{22}=\sex{\ba{cc} 0&0\\ 0&1 \ea} \eex$$ 是 $\bbP^{2\times 2}$ 的一组基, 求 $\bbP^{2\times 2}$ 上的线性函数 $g$ 使得 $$\bex g(E_{11})=2,\quad g(E_{12})=3,\quad g(E_{21})=4,\quad g(E_{22})=-1. \eex$$
证明:
(1) 显然.
(2) $$\bex g(A)=2a_{11}+3a_{12}+4a_{21}-a_{22},\quad A=(a_{ij}). \eex$$
7. ($30‘$) 设 $V$ 是数域 $\bbP$ 上的线性空间, $\scrA$ 是 $V$ 的线性变换, $\scrA$ 的最小多项式 $m(x)=x^2-2x-3$, $\ker \scrA$ 表示 $\scrA$ 的核, $\im \scrA$ 表示 $\scrA$ 的值域. 证明:
(1) $V$ 中存在一组基, 使得 $\scrA$ 在这组基下的矩阵是对角矩阵;
(2) $\ker(\scrA-3\scrE)=\im (\scrA+\scrE)$, 其中 $\scrE$ 是 $V$ 的恒等变换;
(3) $V=\ker(\scrA-3\scrE)\oplus \ker (\scrA+\scrE)$.
证明:
(1) 由 $\scrA$ 的最小多项式没有重根知 $\scrA$ 可对角化 (此结论可由Jordan 标准型立即得到).
(2) 由 $m(x)=(x-3)(x+1)$ 知 $\scrA$ 的特征值为 $-1$ 或 $3$, 而 $\scrA$ 在某组基 $\al_1,\cdots,\al_n$ 下为对角阵: $$\bex \scrA(\al_1,\cdots,\al_n)=(\al_1,\cdots,\al_n)\sex{\ba{cc} -E_r&\\ &3E_{n-r} \ea}. \eex$$ 于是 $$\bex (\scrA-3\scrE)(\al_1,\cdots,\al_n)=(\al_1,\cdots,\al_n)\sex{\ba{cc} -4E_r&\\ &0 \ea}, \eex$$ $$\bex (\scrA+\scrE)(\al_1,\cdots,\al_n)=(\al_1,\cdots,\al_n)\sex{\ba{cc} 0&\\ &4E_{n-r} \ea}. \eex$$ 因此, $$\bex \ker(\scrA-3\scrE)=\span\sed{\al_{r+1},\cdots,\al_n} =\im(\scrA+\scrE). \eex$$
(3) $$\bex \ker(\scrA-3\scrE)=\span\sed{\al_{r+1},\cdots,\al_n},\quad \ker (\scrA+\scrE)=\span\se