最大导出匹配数

Liu-Zhou定理：

若 G= ( X, Y ) 是连通二分图，则 G 的最大导出匹配数为 iμ( G ) = Max{ | S | | S ? X 且对于任意 T ? S 有 N_G(
S ) ≠ N_G( T ) }

证明：

若集合 T 满足对于任意 T ? S 有 N_G( S ) ≠ N_G(
T ) ，则称 T 满足性质 ρ，

设 k = Max{ | S | | S ? X 且 S 具备性质ρ }，

设 M 为 G 中的最大导出匹配，M_X 为
X 部集中被 M 饱和的点集，M_Y 为 Y 部集中被 M 饱和的点集。

E_G( M_X，M_Y )
= M ，对于任意 R ? M_X，有 N_G（R）≠ N_G（M_X），

| N_G( R ) ∩ M_Y |
= | N_M( R ) | = | R | < | M_X | =
| N_G( M_X ) ∩ M_Y |，

所以 || M || = | M_X | ≤ k。

再证明 || M || ≥ k，设 S 是具有  ([ a₁, a₂ ...... a_k ])
具有性质 ρ 且基数为 k 的集合。

那么，对于 1 ≤ i ≤ k，有 N_G(
S - a_i )
≠ N_G(
S ) ，可以推出 N_G（a_i）? ∪_j≠i N_G（aj），

取 b_i ∈ N_G（a_i）-∪_j≠i N_G（aj），那么
{ a_ib_i |
1 ≤ i ≤ k } 是具有 k 条边的导出匹配。则 || M || ≥ k。