求整数N的开方,精度在0.001
二分法
若N大于1,则从[1, N]开始,low = 1, high = N, mid = low + (high - low) >> 1开始进行数值逼近
若N小于1,则从[N, 1]开始,low = 0, high = N, mid = low + (high - low) >> 1开始进行数值逼近
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #define ACCURACY 0.001 double newSqrt(double n) { double low, high, mid, tmp; // 获取上下界 if (n > 1) { low = 1; high = n; } else { low = n; high = 1; } // 二分法求开方 while (low <= high) { mid = (low + high) / 2.000; tmp = mid * mid; if (tmp - n <= ACCURACY && tmp -n >= ACCURACY * -1) { return mid; } else if (tmp > n) { high = mid; } else { low = mid; } } return -1.000; } int main(void) { double n, res; while (scanf("%lf", &n) != EOF) { res = newSqrt(n); printf("%lf\n", res); } return 0; }
牛顿迭代法思路求解:
#include<iostream> using namespace std; int main() { int N; cout<<"输入N的值:"; cin>>N double x1 = 1;//初值 double x2 = x1/2.0+N/2.0/x1; while( fabs(x2-x1)>0.001) { x1 = x2; x2 = x1/2.0+N/2.0/x1; } cout<<x1<<endl; return 0; }
整数开方定义
所谓整数平方根即。
算法
算法1.猜试法
利用等差级数公式:
这样的话, 从1开始一直算到数列的前项和第一次大于x的时候,即是所求。下面给出source
code(C):
unsigned linear_search(unsigned long x)
{
unsigned long sum_n = 1;
unsigned n = 1;
if(x <= 1)
{
return x;
}
while(sum_n <= x)
{
n++;
sum_n += (n<<1) - 1;
}
return (n-1);
}
这种方法无异于穷举法,其唯一的优点是:每次的迭代用到了前面迭代的结果,所以会有一些效率的增益。对于该算法的改进就是不穷举,改用我们熟悉的二分查找法来做。(二分逼近法)
unsigned bi_search(unsigned long x)
{
unsigned long sum_n = 0;
unsigned n = (x >> 1);
unsigned top = x;
unsigned bottom = 0;
if (x <= 1)
{
return x;
}
for (;;)
{
sum_n = n * n;
if (sum_n < x)
{
bottom = n;
n += ((top - bottom) >> 1);
if (n == bottom)
return n;
}
else
if (sum_n > x)
{
top = n;
n -= ((top - bottom) >>1);
if (n == top)
return n-1;
}
else
{
return n;
}
}
}
算法2 Newton 法
把这个问题转换为方程求根问题,即:,求x。
而方程求根的问题可以用Newton 法来解决。现在的问题有一点不同,即所求的根必须是整数。通过证明,我们可以发现,Newton迭代公式是适用于整数情况的,于是有:
至于是怎么证明的,可以参考hacker’s delight。
另外,初值的选择也是很重要的一环,这里我们选择大于等于的最小的2的幂次数。
OK,下面给出程序:
unsigned newton_method(unsigned long x)
{
unsigned long x1 = x - 1;
unsigned s = 1;
unsigned g0,g1;
/* 初值设定 通常将初始值设为1,但是只有1的开方才会是1,通过预处理找到更精确地初始值a[n]*/
if (x1 > 65535) {s += 8; x1 >>= 16;}
if (x1 > 255) {s += 4; x1 >>= 8;}
if (x1 > 15) {s += 2; x1 >>= 4;}
if (x1 > 3) {s += 1; x1 >>= 2;}
/*迭代*/
g0 = 1 << s;
g1 = (g0 + (x >> s)) >> 1;
while(g1 < g0)
{
g0 = g1;
g1 = (g0 + x/g0) >> 1;
}
return g0;
}
算法3 逐比特确认法
逐比特确认法认为一个32位整数求根,结果应该是一个16位整数。求这个16位整数,其实质是确认每位的比特是0还是1.我们把这个根分为两个相加的部分,一部分是已确认的值,另一部分是未确认的值。从高位到低位,每次迭代确认一位。初始时,已确认部分为0。则问题的初始形式为:
算法发明者为:James Ulery 论文:Computing Integer Square Roots
下面给出源代码:
unsigned bitwise_verification(unsigned long x)
{
unsigned long temp = 0;
unsigned v_bit = 15;
unsigned n = 0;
unsigned b = 0x8000;
if (x <= 1)
return x;
do{
temp = ((n << 1) + b) << (v_bit--);
if (x >= temp)
{
n += b;
x -= temp;
}
}while (b >>= 1);
return n;
}
性能比较
在0~1000000范围内对四种算法进行了遍历性的测试,得到测试结果:
显见四种算法的遍历性能以逐比特确认法为最好,逐比特确认法从本质上来说是一种二分查找法,而且其查找范围为整个16位整数域;而我们实现的二分查找法的查找范围到已知变量为止,从范围上来说比逐比特确认法来得小,但是最后平均性能却不及逐比特确认法。其原因在于:逐比特确认法把问题分解为相同的子问题的集合,采用递推的方法,很好地利用了前面步骤的结果,不用什么都从头算起,从而避免了重复劳动,用加减法和移位操作代替了乘除法操作,最终获得了性能上的增益。
需要注意的是,虽然平均性能有如此的关系。并不代表每个数或每组数都有这样的关系。实际上,我们每组产生1000个随机数,并对每组的算法性能进行了测试,各个算法都有获得优胜的时候。至于具体是什么场合用什么算法,需要分析和经验的支撑。目前,我所能归纳出的概要指导准则为:
(1)在大多数情况下,牛顿迭代都能获得不错的性能,
(2)逐比特确认法更适合运算数比较大的场合。
平方根手写算法
此文算是为大整数开根做好理论准备
1> 曾经写过迭代求平方根的算法,很是简单。假设求x的平方根,那么可以假设两个非常逼近的数a[n]和a[n+1],它们的平方都非常接近x:
a[n]*a[n]≈a[n]*a[n+1]≈a[n+1]*a[n+1]≈x; (1)
2a[n+1]*a[n]≈a[n]*a[n]+x; (2)
a[n+1]=0.5*(a[n]+x/a[n]); (3)
因此求x的平方根,只要有一个初始值,然后用式(3)无限迭代下去就可以就算出足够精度的开方值。迭代求平方根的算法对于浮点数64位范围内的数计算是比较准确且迅速的,C函数库math.h中的sqrt函数貌似就是使用这种算法计算平方根的。
上述迭代求平方根的算法能够应用到大整数的开根中呢。理论上是没有任何问题的,实际中也是有人就这么做的,并且貌似还很开心的AC了。但使用此算法求大整数开根的话,要实现大整数加法和除法等基本运算,想想还是放弃了。
2>
接下来介绍一种手动模拟求平方根算法。非常巧妙,非常神奇。可能自己智商有点问题哈,仔细琢磨了几个小时才彻底明白。先仔细介绍如何使用这种算法模拟求平方根,然后再简要说一说它的原理吧!
(a)首先将要开方根的数从小数点分别向右及向左每两个位一组分开,如98765.432内小数点前的65是一组,87是一组,9是一组,小数点后的43是一组,之后是单独的一个2,要补一个0而得20是一组。
(b)将最左一组的数减去最接近又不大于它的平方数,并将该平方数的开方(应该是个位数)记下。
(c) 将上一步所得之差乘以100,和下一组数加起来。
(d)将记下的数乘以20,然后将它加上某个个位数,再乘以这个个位数,令这个积不大于又最接近上一步所得之差,并将该个位数记下,且将上一步所得之差减去所得之积。
(e)记下的数依次隔两位记下。
(f)重复第3步,直到找到答案。
(g) 可以在数字的最右补上多组的00,以求得理想的精确度未止。
原理网上说是(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = a^2 + (2a+b)*b。并没有完全看明白,这里就不班门弄斧了,等以后搞清楚,再补上吧!
/* 大整数开方 ,模拟手工开方*/ # include <stdio.h> # include <string.h> # include <stdlib.h> # include <math.h> # include <time.h> # define MAXN 1001 void bigN_sqrt(char *s); int bigN_cmp(char *a, char *b, int lim); void bigN_mul(char *a, int k, int lim); void bigN_add(char *a, int k); void bigNN_minus(char *a, char *b, int lim); int Newtonsqrt(double x); //牛顿迭代可求求64位数的平方根 char str[MAXN]; int main() { freopen("hugeint.in", "r", stdin); freopen("hugeint.out", "w", stdout); while (~scanf("%s", str)) bigN_sqrt(str); // printf("time cost %.3lfs.\n", (double)clock()/CLOCKS_PER_SEC); return 0; } int bigN_cmp(char *a, char *b, int lim) { int i; for (i = lim-1; i >= 0; --i) if (a[i] < b[i]) return 1; else if (a[i] > b[i]) return -1; return 0; } void bigN_mul(char *a, int k, int lim) { int i, tmp, c; for (c=i=0; i < lim; ++i) { tmp = a[i]*k + c; c = tmp / 10; a[i] = tmp - 10*c; } } void bigN_add(char *a, int k) { int i = 0; while (k > 0) { a[i++] += k%10; k /= 10; } } void bigNN_minus(char *a, char *b, int lim) // b = b - a; { int i, tmp, c; for (c=i=0; i < lim; ++i) { tmp = b[i] - a[i] + c; c = (tmp<0 ? -1:0); b[i] = (tmp+10) % 10; } } int Newtonsqrt(double x) { double x1 = 1;//初值 double x2 = x1/2.0+x/2.0/x1; while( fabs(x2-x1)>0.1) { x1 = x2; x2 = x1/2.0+x/2.0/x1; } return floor(x1); } void bigN_sqrt(char *s) { short int i, k, slen; // 根的一个十进制位 char res[MAXN]; // 试方余数 char cur[MAXN]; // 试方上限 char tmp[MAXN]; int lim; memset(res, 0, sizeof(res)); memset(cur, 0, sizeof(cur)); lim = slen = strlen(s); if (slen < 18) { //非大整数,直接调用sqrt()计算平方根,结束 。sqrt()计算平方根并非完全正确,在测试的过程中 // sqrt(8456552264) = 91960 ,而实际上 8456552264的平方根是91959 ,因此采用Newton迭代法求解 // printf("%.0lf\n", sqrt(atof(s))); // printf("%.0lf\n", sqrt(8456552264)); double value=atof(s); printf("%d",Newtonsqrt(value)); return ; } if (slen & 0x1) { k = -1; cur[0] = s[0] - 48; } else { k = 0; cur[1] = s[0] - 48; cur[0] = s[1] - 48; } while (1) { i = 0; while (1) { ++i; memcpy(tmp, res, MAXN); bigN_mul(tmp, i*20, lim); bigN_add(tmp, i*i); if (-1 == bigN_cmp(tmp, cur, lim)) break; // break until tmp > cur; } --i; printf("%d", i); memcpy(tmp, res, MAXN); //cur -= res*i*20+i*i; bigN_mul(tmp, i*20, lim); bigN_add(tmp, i*i); bigNN_minus(tmp, cur, lim); bigN_mul(res, 10, lim); // res = res*10+i; bigN_add(res, i); k += 2; if (k >= slen) break; else { bigN_mul(cur, 100, lim); bigN_add(cur, ((s[k]-48)*10+(s[k+1]-48))); } } printf("\n"); }