高三数学学习的第一课----不等式的解法

1.一元二次不等式

• 1.1 数字系数的一元二次不等式，如\(x^2<3\)，\(x^2+2x<0\)，\(x^2-3x+2<0\)
• 1.2 字母系数的一元二次不等式，如\(x^2-(a+a^2)x+a^3<0.(a\neq0)\)
• 1.3 能转化为一元二次不等式，如\((x^2-3x+2)\cdot(x+1)<0，2^{x^2-x}<4\)，

如果能理解不等式中的\(x\)的内涵，\(x\Rightarrow 代数式\)，则可以解决诸如这样的不等式，\((2^x)^2-3\cdot 2^x+2<0\)，或者\((log_2^{\;\; x})^2-3\cdot log_2^{\;\;x}+2<0\)

2.高次不等式

• 2.1 高次不等式，如\((3x^2-2x+1)\cdot(x^2-1)<0\)
• 2.2 分式不等式，如\(\cfrac{2x^2-3x+1}{x-2}>0\)；\(\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)

3.绝对值不等式

• 3.1 基本类型，如 \(|x-1|<0 ，2<|x+3|<3\)
• 3.2 带有两个绝对值符号的不等式，如\(|x+1|+|x-2|<3\)
• 3.3 带有两个绝对值符号的不等式的求解，如\(|x-2|\ge |2x+1|\)
• 3.4 带有两个绝对值符号的不等式的转化，如\(|x-2|\ge |y-4|(x\in [1，2])\)
• 3.5 带有双层绝对值符号的不等式的转化，如\(|2|x|-1|\leq 1\)

4.对数不等式

• \(log_2^{\,\,x}<1\)，\(log_2^{\,\,(x-2)}<log_2^{(2x+1)}\)， \(log_2^{\,\,(x+1)}<2.5\)

5.指数不等式

• \(2^x>3\)，\(3^{x^2+3x-1}<(\cfrac{1}{3})^{2x-1}\)，\(e^x>2\)
• \(81\times3^{2x}\ge (\cfrac{1}{9})^{x+2}\)
• \(2^{2x+2}+3\times2^x-1\ge 0\)

6.三角不等式

• \(2sinx>1\)，\(3sinx+4cosx<2\)，\(2cos(2x+\cfrac{\pi}{3})<1\)
• 求函数\(y=\lg sinx+\sqrt{\cos2x+\frac{1}{2}}\)的定义域。

7.分段函数不等式

8.抽象函数不等式

9.排列数组合数不等式

\(\begin{cases} C_{10}^r2^{10-r} \ge C_{10}^{r-1}2^{11-r} \\ C_{10}^r2^{10-r}\ge C_{10}^{r+1}2^{9-r} \end{cases}\)

10.利用图像解不等式

函数\(f(x)\)是周期为4的偶函数，当\(x\in[0，2]\)时，\(f(x)=x-1\)，求不等式\(x\cdot f(x)>0\)在\([-1，3]\)上的解集。

法1：自己作图如右，读图即可解答，解集为\((-1，0)\cup(1，3)\)；

法2：利用积的符号法则求解，原不等式等价于\(\begin{cases}x>0\\f(x)>0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x<0\\f(x)<0\end{cases}\)，

解关于\(x\)的不等式\(lnx>1-x\)；

分析：你应该能感觉到，这个题目用我们平常的那种解法(代数解法)已经不能做出来了，因为它不是我们熟悉的那种代数不等式，而是超越不等式，这时候就需要我们借助图像来求解。

比如分别作出两个函数\(y=lnx\)和\(y=1-x\)的图像观察求解，如右图所示，解集为\((1，+\infty)\)；

同类题目：解关于\(x\)的不等式\(2^x>1-x\)；解集为\((0，+\infty)\)；：解关于\(x\)的不等式\(log_2^x>\cfrac{2}{x}\)；解集为\((2，+\infty)\)；

补充：导函数的不等式。

11.综合运用（指能转化为解不等式的问题）

\(\fbox{例1}\)
函数\(f(x)=\cfrac{ln(x+3)}{\sqrt{1-2^x}}\)的定义域是\((-3，0)\).

\(\fbox{例2}\)
若函数\(f(x)=-x^2+2ax\)与\(g(x)=(a+1)^{1-x}\)在区间\([1，2]\)上都是减函数，求\(a\)的取值范围；

分析：函数\(f(x)\)开口向下，对称轴是\(x=a\)，必须满足\(a\leq 1\)；函数\(g(x)\)是指数型函数，必须满足\(a+1>0\)且\(a+1\neq 1\)且\(a+1>1\)，求交集得到\(0<a\leq 1\).

\(\fbox{例3}\)
已知函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+4x，&x\ge0\\4x-x^2，&x<0\end{cases}\)，若\(f(2-a^2)>f(a)\)，求实数\(a\)的取值范围。

分析：自行作图，结合分段函数\(f(x)\)的大致图像可知，\(f(x)\)在\(R\)上单调递增，故由\(f(2-a^2)>f(a)\)，可直接脱掉符号\(f\)，得到\(2-a^2>a\)，解得\(-2<a<1\).

\(\fbox{例4}\)
已知函数\(f(x)=\cfrac{ax+b}{x}\cdot e^x，a、b\in R，a>0\)，

(1).若函数\(f(x)\)在\(x=1\)处取到极值\(\cfrac{1}{e}\)，试求函数\(f(x)\)的解析式和单调区间；

提示：\(f'(-1)=0，f(1)=\cfrac{1}{e}\)，分别求得\(a-2b=0\)和\(a-b=1\)，联立求得\(a=2，b=1\)；则\(f(x)=\cfrac{2x+1}{x}\cdot e^x\)；

求解单调区间，实质就是解不等式\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}>0\)和\(f'(x)=\cfrac{e^x(x+1)(2x-1)}{x^2}<0\)，此时可以通过穿根法解分式不等式。\((-\infty，-1)和(\cfrac{1}{2}，+\infty)\)单调递增；\((-1，0)和(0，\cfrac{1}{2})\)单调递减；

1、穿根法的前世今生

2、三角不等式的解法

3、代数不等式，超越不等式

• 超越函数(\(Transcendental Functions\))是指变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方运算表示的函数。如对数函数\(y=log_2^x\)，反三角函数如\(y=arcsinx\)，指数函数如\(y=2^x\)，三角函数如\(y=sinx\)等就属于超越函数，它们属于初等函数中的初等超越函数。对数和指数函数即为超越函数的例子。超越函数这个名词通常被拿来描述三角函数。
• 非超越函数则称为代数函数。代数函数的例子包括多项式和平方根函数.
• 超越不等式和代数不等式

不等式两边的函数,如果都是代数函数,则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数,则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等。

原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/9313457.html