[BZOJ 3028]食物（生成函数）

Description

明明这次又要出去旅游了，和上次不同的是，他这次要去宇宙探险！

我们暂且不讨论他有多么NC，他又幻想了他应该带一些什么东西。理所当然的，你当然要帮他计算携带N件物品的方案数。

他这次又准备带一些受欢迎的食物，如：蜜桃多啦，鸡块啦，承德汉堡等等

当然，他又有一些稀奇古怪的限制：

每种食物的限制如下：

　　承德汉堡：偶数个

　　可乐：0个或1个

　　鸡腿：0个，1个或2个

　　蜜桃多：奇数个

　　鸡块：4的倍数个

　　包子：0个，1个，2个或3个

　　土豆片炒肉：不超过一个。

　　面包：3的倍数个

注意，这里我们懒得考虑明明对于带的食物该怎么搭配着吃，也认为每种食物都是以‘个’为单位（反正是幻想嘛），只要总数加起来是N就算一种方案。因此，对于给出的N,你需要计算出方案数，并对10007取模。

Solution

1<=n<=10^500 所以看起来就是要推柿子了

（母函数的一些相关姿势可以看这里）

把一堆生成函数的闭形式乘起来可以得到 x/(1-x)⁴ 即 x*(1+x+x²+x³+x⁴...)⁴

但是“不定方程的非负整数解的个数”是我一点也不熟悉的问题= =

于是我找到了这个：-wzq

嗯！然后就得到了：这个柿子n次项的系数就是C(3,n+3)，因为还乘了一个x所以我们把它平移一位变成了C(3,n+2)

所以说答案就是(n+2)(n+1)n/6

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define Mod 10007
using namespace std;
int read()
{
    int x=0;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)c=getchar();
    while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=(x*10+c-‘0‘)%Mod;c=getchar();}
    return x;
}
void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d)
{
    if(!b){d=a,x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,y,x,d);y-=x*(a/b);
}
int inv(int a,int p)
{
    int d,x,y;exgcd(a,p,x,y,d);
    return (x+p)%p;
}
int main()
{
    int n=read();
    printf("%d\n",((((n+2)*(n+1))%Mod*n)%Mod*inv(6,Mod))%Mod);
    return 0;
}