c 整数运算

一、无符号加法（形式的模运算，无符号加法等价于计算模2^w 的和）

　　示例：非负数 x 和 y

　　位数： w(8位机)

　　范围： 0 <= x,y <= 2^w -1

　　结果：0 <= x+y <= (2^w -1 + 2^w -1)  ====>  0 <= x+y <= 2^{w +1}-2

　　比如：200 + 100 = 300 (2^w -1 <= 300 <=  2^{w +1}-2 )  ====> 300 mod 2^w(256) = 44

　　过程：300转换成二进制：100101100，但是咱们是8位机，我们从右往左数，左边的是高位，右边的是低位，把去高位舍去，保留8位：00101100（转换成10进制就是44）

　　那么这里就会出现一个很重要的概念：溢出？拿上边的示例来说明：当x + y > 2^w -1的时候，这个x+y的结果就会溢出，如图（整数加法和无符号加法之间的关系）：

　　从这个图中我们可以分析一下，大概有两种情况（假设：w为4位 ）：

　　a. x + y < 2^w 它的结果的w+1位表示中的最高位会等于0，就算丢弃了最高位也不会改变值得大小，可能大家会很疑惑这事什么意思？

　　　　比如： 6+5 = 12 < 2⁴(16)，那么12的4位二进制表示 1100，w+1位的表示为01100，这就是上边说的w+1位表示中的最高位会等于0，就算把这个最高位去掉，结果变成4位1100，还是12，值不变

　　b. 2^w < x + y < 2^w+1 它的结果的w+1位表示中最高位会等于1，因此如果咱们把最高位丢弃了，它就相当于减去了2^w ？？？？？

　　　　比如：5+16 = 21，那么2^w(16) < 21 < 2^w+1(32)，21的二进制是 10101,最高位是1，那么去掉最高位的话结果就是0101（5），结果 x + y - 2^w，从上图可以看出 0 < x + y - 2^w < 2^w+1 - 2^w = 2^w ,结果就在0~2^w 中，刚好x和y的和，然后再模2^w 的结果

　　，该图就是对上边两种情况最好的表示

　　那么咱们说一个算术溢出，是指完整的正数结果不能放到该数据类型的字长限制中去，就像上边的例子一样，w位4位，最大值为16，计算出一个21，那么这就是算术溢出，21不能放到4位长度类型里边去，

　　如何判断是否发生了溢出呢？？

　　　　比如： s = x + y；w=4， 0 <= x，y <= 2^w

　　　　（1）.当x + y >= x的时候，s就没有溢出，可以肯定s >= x；比如 1+13 = 14 < 2^w 没有产生溢出，结果是14，那么 1+13 >= x

　　　　（2）.当s确实溢出了，那么公式就是s = x + y - 2^w ,比如 1+15 = 16 >= 2^w ,产生了溢出，结果当然是0了，那么 s < x，就产生了溢出

　　加法逆元（必须满足 -x + x = 0）：

　　　　a. x = 0，那么它的加法逆元就是0

　　　　b. x > 0，那么它的加法逆元就是 2^w - x，这是为什么呢？ 根据逆元运算 -x + x = 0  =====> x + 2^w - x = 2^w == 2^w 溢出了，结果就是0

二、二进制补码加法