\(LCS:\)
对于两个长度均为 \(N\) 的数列 \(A\) 和 \(B\) ,存在一个数列 \(C\) 使得 \(C\) 既是 \(A\) 的子序列有事 \(B\) 的子序列,现在需要求这个数列的最长的长度,这就是最长公共子序列。
\(solution\quad 1:\)
这道题是世界上最经典的DP题之一,我们可以知道我们做需要求的子序列中的任意一个元素在 \(A\) 和 \(B\) 中都存在,所以我们可以设出状态即 \(F[i][j]\) 表示我们已经匹配了 \(A\) 的前 \(i\) 位和 \(B\) 的前 \(j\) 位所得到的最长公共子序列。这样是很好写转移方程的:
\(F[i][j]=max\{F[i-1][j-1]+[A[i]==B[j]]\quad ,\quad F[i-1][j] \quad ,\quad F[i][j-1] \}\)
\(code\quad 1:\)
#include<iostream>
using namespace std;
int f[1001][1001],a[2001],b[2001],n,m;
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&b[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=m;j++){
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1]);
if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+1);
}
cout<<f[n][m];
}
\(solution\quad2 :\)
还有一种 \(nlogn\) 的算法,它的思路很奇妙,我们用数列 \(A\) 将数列 \(B\) 里的元素离散化,就是把数列 \(B\) 里的元素在改为这个元素在数列 \(A\) 中的位置(显然我们首先还要把两个数列中不公共的元素删除)。然后我们发现只要是此时数列 \(B\) 中的上升子序列,就是两个数列的公共子序列。于是题目就变成了最长上升子序列。
然后我们回顾一下之前讲的LIS(最长上升子序列)的三种经典求法,就不难写出这道题目了!
然后有一个需要注意的地方:这两个数列的元素可能出现重复(不过这应该不影响我们的算法),只是我们离散化时还要考虑一下相同元素的顺序。这里放的代码对应洛谷P1439 【模板】最长公共子序列 (博主用的方法对应上一章最长上升子序列的第三种求法)
\(code\quad 2:\)
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
#define db double
#define inf 0x7fffffff
#define rg register int
using namespace std;
int a[100001];
int b[100001];
int n,top,l,r,mid;
inline int qr(){
char ch;
while((ch=getchar())<'0'||ch>'9');
int res=ch^48;
while((ch=getchar())>='0'&&ch<='9')
res=res*10+(ch^48);
return res;
}
int main(){
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
n=qr();
for(rg i=1;i<=n;++i) b[qr()]=i;
for(rg i=1;i<=n;++i) a[i]=b[qr()];
for(rg i=1;i<=n;++i){
l=1;r=top;
while(l<=r){
mid=(l+r)>>1;
if(b[mid]<=a[i]){
l=mid+1;
continue;
}r=mid-1;
} b[l]=a[i];
if(l>top)++top;
}printf("%d\n",top);
return 0;
}
原文地址:https://www.cnblogs.com/812-xiao-wen/p/10996321.html
时间: 2024-10-09 20:46:53