计算几何-点积/叉积

关于本篇博文

作者 北屿 http://www.cnblogs.com/beiyuoi/

转载请保留该文字

写在前面

个人总结的点积叉积的概念和应用qwq.

更新记录

20160521-点积/叉积定义 几何意义 运算 基础应用 性质

20160609-题目简讲-Toys

点积

点积，又名点乘积、数量积，高中数学课本必修四向量提到了

• 定义

\[a\cdot b=\left|a\right|\times\left|b\right|cos<a,b>\]

• 几何意义 \(a\)在\(b\) 上的正投影乘\(b\)的模长
• 坐标运算

\[a(x_{1},y_{1}),b(x_{2},y_{2})=>a\cdot b=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\]

• 应用 计算\(a\)和\(b\) 的长度和夹角
• 性质 满足各种规律 交换律，结合律，分配律什么的
• 注意 \(a\cdot b\) 的结果是个数值而不是向量

叉积

叉积，又称向量积

• 定义

\(p_1 \times p_2 =\begin{vmatrix}x_1 & x_2 \\y_1 & y_2\end{vmatrix} = x_1y_2 - x_2y_1\)

\(p_1 \times p_2 = |p_1|\cdot|p_2|\sin \alpha\)

• 几何意义 向量\(p_1 p_2\) 围成的四边形面积
• 坐标运算 如定义所示
• 应用 计算多边形周长面积，判断直线相交以及相互关系在直线左边或右边
• 性质 满足各种规律 \(p_1 \times p_2 = -p_2 \times p_1\)
• 判断直线位置关系

若 \(p_1 \times p_2<0\) ，则 \(p_1\) 在 \(p_2\) 的逆时针方向；

若 \(p_1 \times p_2>0\) ，则 \(p_1\) 在 \(p_2\) 的顺时针方向；

特殊的 若 \(p_1 \times p_2=0\) 则 \(p_1 p_2\) 共线

题目简讲

• POJ 2318 TOYS(计算几何+叉积+二分)

题目大意:给出n条不想交的直线，把平面分成n+1的区域，给出m个点，询问每个区域出现的点的个数。

Sol:对于每个点属于哪个区域，显然区域具有单调性，用叉积判断点在直线的左边还是右边二分就可以了。判断方法就是判断这个点和分别和直线上下两边界端点形成的两条直线的位置关系，显然如果在左边的话，上边界和该点 与 下边界和该点 的叉积为负，反之为正。