关于斐波那契数列的一点规律 --14年蓝桥杯试题

　　斐波那契数列大家都非常熟悉。它的定义是：

　　f(x) = 1 .... (x=1,2)
　　f(x) = f(x-1) + f(x-2) .... (x>2)

　　对于给定的整数 n 和 m，我们希望求出：
　　f(1) + f(2) + ... + f(n) 的值。但这个值可能非常大，所以我们把它对 f(m) 取模。
　　公式如下

　　但这个数字依然很大，所以需要再对 p 求模。

输入格式

　　输入为一行用空格分开的整数 n m p (0 < n, m, p < 10^18)

输出格式

　　输出为1个整数，表示答案

样例输入

2 3 5

样例输出

0

样例输入

15 11 29

样例输出

25

首先我们设S（i）= f(1)+f(2)+...+f(i);

题干中已经告诉我们n取值很大时S(n)有可能非常大，所以不可能直接算出来

题干又进一步提示说S（n）对f(m)取模，然后进一步对p取模

我们能够直接算出的只有f(n)

所以这个题很自然的思路就是通过f(n)的表达式来表示出取模之后的结果

所以我们需要寻找S(n)和f(n)之间的关系。

事实上：s(n)=f(n+2)-1 (i>0)

我们可以通过最原始的方式，查看规律（证明可用数学归纳法，有待学习、、）

Thinking:

设f(i)为斐波那契数列第i项,s(i)=f(1)+f(2)+...+f(i),

i  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15

f(i) 1  1  2  3  5  8 13 21 34  55  89  144 233 377 610

s(i) 1  2  4  7 12 20 33 54 88 143 232  376 609 ... ...

得到公式之后，继续分析本题，可知

s(i)%f(m)=(f(i+2)-1)%f(m)

=f(i+2)%f(m)+f(m)-1

=(f(i)+f(i+1))%f(m)+f(m)-1;

代码待续...