LA 3641 (置换 循环的分解) Leonardo's Notebook

给出一个26个大写字母的置换B，是否存在A² = B

每个置换可以看做若干个循环的乘积。我们可以把这些循环看成中UVa 10294的项链， 循环中的数就相当于项链中的珠子。

A²就相当于将项链旋转了两个珠子间的距离，珠子0、2、4...构成一个循环，一共有gcd(n, 2)个循环，每个循环的长度为n / gcd(n, 2)

所以当一个循环的长度为奇数的时候，平方以后还是原来的长度；

当一个循环的长度为偶数的时候，平方以后就会分解为两个长度都等于原来循环长度一半的循环。

先将置换B分解循环，对于其中长度为奇数2k+1的循环，可以通过相同长度2k+1的循环平方后从A²中得到，也可能是2(2k+1)分解出两个2k+1的循环。

但是对于长度为偶数2k的循环来说，一定是由长度为4k的循环平方后分解出来的。

所以如果存在置换A满足A² = B，则B中长度为偶数的循环节一定为偶数。

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3
 4 int main()
 5 {
 6     //freopen("in.txt", "r", stdin);
 7
 8     int T;
 9     scanf("%d", &T);
10     while(T--)
11     {
12         char s[30];
13         scanf("%s", s);
14         bool vis[30];
15         memset(vis, false, sizeof(vis));
16         int cnt[30];
17         memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
18
19         for(int i = 0; i < 26; i++) if(!vis[i])
20         {
21             int j = i;
22             int n = 0;
23             do
24             {
25                 vis[j] = 1;
26                 n++;
27                 j = s[j] - ‘A‘;
28             }while(j != i);
29             cnt[n]++;
30         }
31
32         bool ok = true;
33         for(int i = 2; i <= 26; i += 2) if(cnt[i] & 1) { ok  = false; break; }
34         printf("%s\n", ok ? "Yes" : "No");
35     }
36
37     return 0;
38 }

代码君

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