隐马尔科夫模型（HMM）及其实现

马尔科夫模型

马尔科夫模型是单重随机过程，是一个2元组：(S,A)。

其中S是状态集合，A是状态转移矩阵。

只用状态转移来描述随机过程。

马尔科夫模型的2个假设

有限历史性假设：t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；

齐次性假设：从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。

以天气模型为例

天气变化有3中状态S:{1(阴),2（云）,3（晴）}

图片来自网络

则状态转移矩阵A:

这样，只要知道的初始状态概率向量，就能预测接下来每天的天气了。

隐马尔科夫模型

隐马尔科夫模型是双重随机过程，是一个5元组：

V是输出集合。

表示在状态j时输出k的概率。

是初始状态概率。

用状态转移和输出概率一起来描述随机过程。

以扔硬币模型为例

有个小孩手上拿着3个各不相同，也正反不均匀的硬币。他每次随机抽取1个硬币扔，扔了很多次（比如10次），他并不告诉你他每次抽中的是哪个硬币。但是他会告诉你每次的正反结果：正正反正反正正正……

在这个问题中，我们知道观察序列（硬币的正反），但是小孩手上硬币类型的变换序列被隐藏起来了，我们不知道小孩每次拿的哪个硬币扔，因此是双重随机过程。这就隐马尔科夫过程。

这里假设模型参数已知：

A=[0.90.05 0.05;0.45 0.1 0.45;0.45 0.45 0.1];
B=[0.50.75 0.25;0.5 0.25 0.75];
Pi=[1/31/3 1/3]';

隐马尔科夫模型的3个问题

1.【概率问题】给定上述模型，观察到[正正反]的概率是多少？

O=[11 2];

2.【预测问题】给定上述模型，如果观察到上述结果，最可能的硬币转换序列（状态转换序列）是什么？

3.【学习问题】不告诉你模型参数，如何根据观察序列得到它们？

【概率问题】

1.向前算法

向前变量：给定模型，在时刻t，状态为i，且之前的观察序列如下的概率。

显然有

Alpha=zeros(3,N);
Beta=zeros(3,N);
Lambda=zeros(3,N);

Alpha(:,1)=B(O(1),:)'.*Pi;
Delta=Alpha;
fori=2:N
    Alpha(:,i)=A'*Alpha(:,i-1).*B(O(i),:)';
end
Q1_1=sum(Alpha(:,N));

输出

Alpha=
0.166666666666667      0.150000000000000      0.0867187500000000
0.250000000000000      0.0531250000000000    0.00683593750000000
0.0833333333333333    0.0322916666666667    0.0259765625000000

Q1_1=0.119531250000000

2.向后算法

向后变量：给定模型，在时刻t，状态为i，且之后的观察序列如下的概率。

显然有

Beta(:,N)=ones(N,1);
fori=N:-1:2
   Beta(:,i-1)=bsxfun(@times,A,B(O(i),:))*Beta(:,i);
end
Q1_2=sum(Pi.*B(1,:)'.*Beta(:,1));

输出

Beta=
0.252187500000000      0.500000000000000      1
0.202968750000000      0.587500000000000      1
0.321093750000000      0.412500000000000      1

Q1_2=0.119531250000000

【预测问题】

Viterbi算法

Viterbi变量：给定模型，在时刻t，状态为i，观察到的最佳转换序列为的概率。

显然有

这里需要把最佳路径记录下来

Q2=zeros(1,N);
fori=2:N
    Delta(:,i)=max(bsxfun(@times,A,Delta(:,i-1)))'.*B(O(i),:)';
   [~,Lambda(:,i)]=max(bsxfun(@times,A,Delta(:,i-1)));
end
[~,Q2(N)]=max(Delta(:,N));
fori=N:-1:2
    Q2(i-1)=Lambda(Q2(i),i);
end

输出

Delta=
0.166666666666667      0.0750000000000000    0.0337500000000000
0.250000000000000      0.0281250000000000    0.00316406250000000
0.0833333333333333    0.0281250000000000    0.00949218750000000

最优序列

1     1     1

【学习问题】

1.有监督模式

在有大量标签数据下，直接用频率近似概率参数即可。

2.无监督模式

Baum-Welch算法

定义变量：在给定模型和观察序列O，在t时刻状态为i，在t+1时刻状态为j的概率

令

则关于模型参数的一种估计方法为

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