线性回归
用线性回归找到最佳拟合直线
回归的目的是预测数值型数据，根据输入写出一个目标值的计算公式，这个公式就是回归方程（regression equation），变量前的系数（比如一元一次方程）称为回归系数（regression weights）。求这些回归系数的过程就是回归。
假设输入数据存放在矩阵X 中，回归系数存放在向量w 中，那么对于数据X 1 的预测结果可以用Y 1 =X T 1 w 得出。我们需要找到使误差最小的w ，但是如果使用误差之间的累加的话，那么正负误差将会抵消，起不到效果，所以采用平方误差。如下：
∑ i=1 n (y i ?x T i w) 2
用矩阵表示：(Y?Xw) T (Y?Xw) 。对W 求导得到X T (Y?Xw) ，令其等于零得到w 的最佳估计：
w ^ =(X T X) ?1 X T y
首先我们导入数据，代码如下：
from numpy import *
def loadDataSet(fileName):
numFeat = len(open(fileName).readline().split(‘\t‘))-1
dataMat = []; labelMat = []
fr = open(fileName)
for line in fr.readlines():
lineArr = []
curLine = line.strip().split(‘\t‘)
for i in range(numFeat):
lineArr.append(float(curLine[i]))
dataMat.append(lineArr)
labelMat.append(float(curLine[-1]))
return dataMat, labelMat这部分数据是由tap分隔，并且最后一个值是目标值。接下来计算回归系数：
def standRegres(xArr, yArr):
xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
xTx = xMat.T*xMat
if linalg.det(xTx) == 0.0:
print "This matrix is singular, cannot do inverse"
return
ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
return ws该函数首先读入x 和y 数组，然后将它们转换成矩阵，之后根据公式计算平方误差，注意，需要对X T X 求逆，此时需要判断它的行列式是否为0，行列式等于0的矩阵无法求逆，可以直接使用linalg.det() 来计算行列式。好了，我们来看看效果，首先读入数据：
xArr,yArr=loadDataSet(‘ex0.txt‘)我们先看看前两条数据：
print xArr[0:2]
[[1.0, 0.067732], [1.0, 0.42781]]第一个值总是等于1.0，也就是x 0 ，假定偏移量是一个常数，第二个值是x 1 。
现在看看计算回归系数函数效果：
ws = standRegres(xArr,yArr)
print ws
[[ 3.00774324]
[ 1.69532264]]现在得到了回归系数，那么我们可以通过回归方程进行预测yHat：
xMat = mat(xArr)
yMat = mat(yArr)
yHat = xMat*ws为方便观察，我们画出数据集散点图：
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], yMat.T[:,0].flatten().A[0])现在绘制最佳拟合直线，那么需要画出预测值yHat，如果直线上数据点次序混乱，绘图时将会出现问题，所以要将点按照升序排序：
xCopy = xMat.copy()
xCopy.sort(0)
yHat=xCopy*ws
ax.plot(xCopy[:,1], yHat)
plt.show()我们来看看效果：
最佳拟合直线方法将数据视为直线进行建模，但图中的数据集似乎还有更好的拟合方式。
局部加权线性回归
线性回归可能出现欠拟合的现象，如上图所示，因为它求的是具有最小均方误差的无偏差估计。所以有些方法允许在估计中引入一些偏差，从而降低预测的均方误差。其中一个方法就是使用局部加权线性回归（Locally Weighted Linear Regression，LWLR），我们给待测点附近的每个点赋予一定的权重，是用此方法解出的回归系数如下：
w ^ =(X T WX) ?1 X T Wy
其中W 是一个矩阵，用来给每个数据点赋予权重。
LWLR使用“核”来对附近的点赋予更高的权重，核的类型可以自由选择，最常用的核就是高斯核，高斯核对应的权重如下：
w(i,i)=exp(|x i ?x|?2k 2 )
下面来编写局部加权线性回归：
def lwlr(testPoint, xArr, yArr, k = 1.0):
xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
m = shape(xMat)[0]
# eye()返回一个对角线元素为1，其他元素为0的二维数组。
weights = mat(eye((m)))
for j in range(m):
diffMat = testPoint - xMat[j,:]
weights[j,j] = exp(diffMat*diffMat.T/(-2.0*k**2))
xTx = xMat.T * (weights * xMat)
if linalg.det(xTx) == 0:
print "This matrix is singular, cannot do inverse"
return
ws = xTx.I * (xMat.T * (weights * yMat))
return testPoint * ws
def lwlrTest(testArr, xArr, yArr, k=1.0):
m = shape(testArr)[0]
yHat = zeros(m)
for i in range(m):
yHat[i] = lwlr(testArr[i],xArr,yArr,k)
return yHatlwlr()函数得到的是单点的估计，为得到所有点的估计，可以调用lwlrTest()函数。
yHat = lwlrTest(xArr,xArr,yArr,1.0)下面绘出估计值和原始值，看看yHat的拟合效果。需要将数据点按序排列。
xMat = mat(xArr)
srtInd = xMat[:,1].argsort(0)
xSort = xMat[srtInd][:,0,:]然后使用Matplotlib绘图：
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.plot(xSort[:,1],yHat[srtInd])
ax.scatter(xMat[:,1].flatten().A[0], mat(yArr).T.flatten().A[0], s = 2, c = ‘red‘)
plt.show()当k=1.0时，权重很大，相当于将所有数据视为等权重，得出的最佳拟合直线与标准线性回归一致：
当使用k=0.01时：
yHat = lwlrTest(xArr,xArr,yArr,0.01)结果如下：
当使用k=0.003时：
yHat = lwlrTest(xArr,xArr,yArr,0.003)结果如下：
由上三种结果可以看出，在k=1.0时，得出的拟合曲线欠拟合，k=0.01时，曲线拟合效果不错，而k=0.003时，又有些过拟合。
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