斜二测画法的经验公式

用斜二测画法画直观图，本质上就是把三维空间中图形的每个点投影到一个二维平面上（其实还需要先把 y 坐标除以 2, 但这不是重点）。投影之后坐标降到了二维，这样才有可能在二维的纸面上把点每个点画出来，从而把整个图形画出来。

（斜二测画法，边长 200px 的立方体）

当年学向量的时候推导了一些变换公式（当时还不知道矩阵乘法），顺便研究了一下怎么样通过计算画直观图而不是凭感觉。乱搞了一通蒙出一组式子来，基本上可以确定是对的：

\(\left\{\begin{matrix}
x‘ = x+\frac{\sqrt{2}}{4}y \\
y‘ = z+\frac{\sqrt{2}}{4}y
\end{matrix}\right.\)

(x, y, z) 表示空间中点的坐标，(x‘, y‘) 表示投影后纸面上一个 x 轴向右，y 轴（对应空间中的 z 轴）向上的坐标系中点的坐标。在这个坐标系中，可以画出 y = x 这条直线来表示空间中的 y 轴（图中 z 轴）。注意这个 y 轴是指向右上方的，也就是说这是一个左手系（其实左手系跟右手系在坐标运算上几乎没什么差别，只是向量叉积公式不一样而已）：

（左手系和右手系，图片来自网络）

上述式子只适用于左手系，但是稍加改造应该就能得到只适用于右手系的另一组式子。不过我懒得再推（试）了。

写成变换矩阵的形式：

\(\begin{bmatrix}
x‘\\
y‘\\
z‘
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
1 & \frac{\sqrt{2}}{4} & 0 \\
0 & \frac{\sqrt{2}}{4} & 1 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
y\\
z
\end{bmatrix}\)