1. 引言
许多应用都需要动态集合结构，它至少需要支持Insert，search和delete字典操作。散列表（hash table）是实现字典操作的一种有效的数据结构。
2. 直接寻址表
在介绍散列表之前，我们前介绍直接寻址表。
当关键字的全域U（关键字的范围）比较小时，直接寻址是一种简单而有效的技术。我们假设某应用要用到一个动态集合，其中每个元素的关键字都是取自于全域U=｛0，1，…，m-1｝，其中m不是一个很大的数。另外，假设每个元素的关键字都不同。
为表示动态集合，我们用一个数组，或称为直接寻址表（direct-address table），记为T[0~m-1]，其中每一个位置（slot，槽）对应全域U中的一个关键字，对应规则是，槽k指向集合中关键字为k的元素，如果集合中没有关键字为k的元素，则T[k]=NIL。
几种字典操作实现起来非常简单：
上述的每一个操作的时间均为O(1)时间。
在某些应用中，我们其实可以把对象作为元素直接保存在寻址表的槽中，而不需要像上图所示使用指针指向该对象，这样可以节省空间。
3. 散列表
(1) 直接寻址的缺点
我们可以看出，直接寻址技术有几个明显的缺点：如果全域U很大，那么表T 将要申请一段非常长的空间，很可能会申请失败；对于全域较大，但是元素却十分稀疏的情况，使用这种存储方式将浪费大量的存储空间。
(2) 散列函数
为了克服直接寻址技术的缺点，而又保持其快速字典操作的优势，我们可以利用散列函数（hash function）
h：U→｛0，1，2，…，m-1｝
来计算关键字k所在的的位置，简单的讲，散列函数h(k)的作用是将范围较大的关键字映射到一个范围较小的集合中。这时我们可以说，一个具有关键字k的元素被散列到槽h(k)上，或者说h(k)是关键字k的散列值。
示意图如下：
这时会产生一个问题：两个关键字可能映射到同一槽中（我们称之为冲突（collision）），并且不管你如何优化h(k)函数，这种情况都会发生（因为|U|>m）。
因此我们现在面临两个问题，一是遇到冲突时如何解决；二是要找出一个的函数h(k)能够尽量的减少冲突；
(3) 通过链表法解决冲突
我们先来解决第一个问题。
解决办法就是，我们把同时散列到同一槽中的元素以链表的形式“串联”起来，而该槽中保存的是指向该链表的指针。如下图所示：
采用该解决办法后，我们可以通过如下的操作方式来进行字典操作：
下面我们来分析上图各操作的性能。
首先是插入操作，很明显时间为O(1)。
然后分析删除操作，其花费的时间相当于从链表中删除一个元素的时间：如果链表T[h(k)]是双链表，花费的时间为O(1)；如果链表T[h(k)]是单链表，则花费的时间和查找操作的渐进运行时间相同。
下面我们重点分析查找运行时间：
首先，我们假定任何一个给定元素都等可能地散列在散列表T的任何一个槽位中，且与其他元素被散列在T的哪个位置无关。我们称这个假设为简单均匀散列（simple uniform hashing）。
不失一般性，我们设散列表T的m个槽位散列了n个元素，则平均每个槽位散列了α = n/m个元素，我们称α为T的装载因子（load factor）。我们记位于槽位j的链表为T[j]（j=1，2，…，m-1），而nj表示链表T[j]的长度，于是有
n = n0+n1+…+nm-1，
且E[nj] = α = n / m。
现在我们分查找成功和查找不成功两种情况讨论。
① 查找不成功
在查找不成功的情况下，我们需要遍历链表T[j]的每一个元素，而链表T[j]的长度是α，因此需要时间O(α)，加上索引到T(j)的时间O(1)，总时间为θ(1 + α)。
② 查找成功
在查找成功的情况下，我们无法准确知道遍历到链表T[j]的何处停止，因此我们只能讨论平均情况。
我们设xi是散列表T的第i个元素（假设我们按插入顺序对散列表T中的n个元素进行了1~n的编号），ki表示xi.key，其中i = 1，2，…，n，再定义随机变量Xij=I｛h(ki)=h(kj)｝，即：
在简单均匀散列的假设下有
P｛h(ki)=h(kj)｝ = 1 / m，
E[Xij] = 1 / m。
则所需检查的元素的数目的期望是：
因此，一次成功的检查所需要的时间是O(2 + α / 2 –α / 2n) = θ(1 + α)。
综合上面的分析，在平均下，全部的字典操作都可以在O(1)时间下完成。
4. 散列函数
现在我们来解决第二个问题：如何构造一个好的散列函数。
一个好的散列函数应（近似地）满足简单均匀散列：每个关键字都等可能的被散列到各个槽位，并与其他关键字散列到哪一个槽位无关（但很遗憾，我们一般无法检验这一条件是否成立）。
在实际应用中，常常可以可以运用启发式方法来构造性能好的散列函数。设计过程中，可以利用关键字分布的有用信息。一个好的方法导出的散列值，在某种程度上应独立于数据可能存在的任何模式。
下面给出两种基本的构造散列函数的方法：
(1) 除法散列法
除法散列法的做法很简单，就是让关键字k去除以一个数m，取余数，这样就将k映射到m个槽位中的某一个，即散列函数是：
h(k) = k mod m ，
由于只做一次除法运算，该方法的速度是非常快的。但应当注意的是，我们在选取m的值时，应当避免一些选取一些值。例如，m不应是2的整数幂，因为如果m = 2 ^ p，则h(k)就是k的p个最低位数字。除非我们已经知道各种最低p位的排列是等可能的，否则我们最好慎重的选择m。而一个不太接近2的整数幂的素数，往往是较好的选择。
(2) 乘法散列法
该方法包含两个步骤。第一步：用关键字k乘以A（0 < A < 1），并提取kA的小数部分；第二步：用m乘以这个值，在向下取整，即散列函数是：
h(k) = [m (kA mod 1)]，
这里“kA mod 1”的是取kA小数部分的意思，即kA –[kA]。
乘法散列法的一个优点是，一般我们对m的选择不是特别的关键，一般选择它为2的整数幂即可。虽然这个方法对任意的A都适用，但Knuth认为，A ≈ （√5 - 1）/ 2 = 0.618033988…是一个比较理想的值。