POJ 1305-Fermat vs. Pythagoras(毕达哥拉斯三元组的解)

题目地址：POJ 1305

题意：给一个整数N，求N范围内的本原的毕达哥拉斯三元组的个数，以及N以内毕达哥拉斯三元组不涉及数的个数。

思路：

首先我们先来了解一下一些基本的定义

毕达哥拉斯三元组：

设不定方程:x^2+y^2=z^2若正整数三元组(x,y,z)满足上述方程，则称为毕达哥拉斯三元组。

本原毕格拉斯三元组：

在毕格拉斯三元组的基础上，若gcd(x,y,z)=1，则称为本原的毕达哥拉斯三元组。

定理：

正整数x,y,z构成一个本原的毕达哥拉斯三元组且y为偶数,当且仅当存在互素的正整数m,n(m>n),其中m,n的奇偶性不同,并且满足x=m^2-n^2,y=2*m*n, z=m^2+n^2

所以根据定理，对于本题只要枚举一下m,n(m,n<=sqrt(n))，然后将三元组乘以i(保证i*z小于N)，就可以求出所有的毕达哥拉斯三元组。

但是注意：因为在N范围内，所以z < N，即m^2 + n^2 < N。

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using namespace std;
typedef __int64 LL;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const double pi= acos(-1.0);
const double esp=1e-6;
using namespace std;
const int Maxn=1e6+10;
int vis[Maxn];
int gcd(int a,int b)
{
    while(b!=0){
        int r=b;
        b=a%b;
        a=r;
    }
    return a;
}
int main()
{
    int N;
    while(~scanf("%d",&N)){
        int cnt1=0;
        int cnt2=0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        int t=(int)sqrt(N*1.0);
        for(int n=1;n<=t;n++){
            for(int m=n+1;m<=t;m++){
                if(n*n+m*m>N) break;
                if((n&1)!=(m&1)){
                    if(gcd(n,m)==1){
                        int x=m*m-n*n;
                        int y=2*m*n;
                        int z=m*m+n*n;
                        cnt1++;
                        for(int i=1;;i++){
                            if(i*z>N) break;
                            vis[x*i]=1;
                            vis[y*i]=1;
                            vis[z*i]=1;
                        }
                    }
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=N;i++){
            if(!vis[i]) cnt2++;
        }
        printf("%d %d\n",cnt1,cnt2);
    }
    return 0;
}

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