【BZOJ4176】 Lucas的数论

Description

去年的Lucas非常喜欢数论题，但是一年以后的Lucas却不那么喜欢了。

在整理以前的试题时，发现了这样一道题目“求Sigma(f(i)),其中1<=i<=N”，其中 表示i的约数个数。他现在长大了，题目也变难了。

求如下表达式的值：

其中 表示ij的约数个数。

他发现答案有点大，只需要输出模1000000007的值。

Input

第一行一个整数n。

Output

一行一个整数ans，表示答案模1000000007的值。

Sample Input

2

Sample Output

8

HINT

对于100%的数据n <= 10^9。

Solution

因为直接用编辑器打公式比较麻烦且丑，就用markdown截图完传图片了= =b。

Code

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cmath>
 3
 4 #define R register
 5 const int mod = 1e9 + 7;
 6 #define maxn 1500010
 7 int miu[maxn], smiu[maxn], pr[maxn / 10], prcnt, lim, N;
 8 bool vis[maxn];
 9 int hash[maxn];
10 bool vihash[50000];
11 int Miu(R int n)
12 {
13     if (n <= lim) return smiu[n];
14     if (vihash[N / n]) return hash[N / n];
15
16     vihash[N / n] = 1;
17     R int ret = 1;
18     for (R int i = 2, j; i <= n; i = j + 1)
19     {
20         j = n / (n / i);
21         (ret += mod - 1ll * (j - i + 1) * Miu(n / i) % mod) %= mod;
22     }
23     return hash[N / n] = ret;
24 }
25 inline int sumf(R int n)
26 {
27     R int ret = 0;
28     for (R int i = 1, j; i <= n; i = j + 1)
29     {
30         j = n / (n / i);
31         ret = (ret + 1ll * (j - i + 1) * (n / i)) % mod;
32     }
33     return ret;
34 }
35 int main()
36 {
37     scanf("%d", &N);
38     lim = (int) pow(N * 1.0, 0.666);
39 //    printf("%d\n", lim);
40     miu[1] = smiu[1] = 1;
41     for (R int i = 2; i <= lim; ++i)
42     {
43         if (!vis[i]) pr[++prcnt] = i, miu[i] = -1;
44         smiu[i] = (smiu[i - 1] + miu[i]) % mod;
45         for (R int j = 1; j <= prcnt && 1ll * i * pr[j] <= lim; ++j)
46         {
47             vis[i * pr[j]] = 1;
48             if (i % pr[j]) miu[i * pr[j]] = -miu[i];
49             else
50             {
51                 miu[i * pr[j]] = 0;
52                 break;
53             }
54         }
55     }
56     R int ans = 0, last = 0;
57     for (R int i = 1, j; i <= N; i = j + 1)
58     {
59         j = N / (N / i);
60         R int Ph = Miu(j);
61         R int fs = sumf(N / i);
62 //        printf("l = %d r = %d %d %d\n", i, j, Ph, fs);
63         ans = (ans + 1ll * (Ph - last + mod) * fs % mod * fs) % mod;
64         last = Ph;
65     }
66 //    printf("%d\n", last);
67     printf("%d\n", ans % mod);
68     return 0;
69 }