K-L变换

K-L变换（ Karhunen-Loeve Transform）是建立在统计特性基础上的一种变换，有的文献也称为霍特林（Hotelling）变换，因他在1933年最先给出将离散信号变换成一串不相关系数的方法。K-L变换的突出优点是去相关性好，是均方误差（MSE，Mean Square Error）意义下的最佳变换，它在数据压缩技术中占有重要地位。

K-L（Karhunen-Loeve）变换形式

设X=(X1，X2，…，XN)T为N维随机矢量，mX=E(X)和CX=E{(X－mX)(X－mX)T}分别为其平均值向量和协方差矩阵，ei和λi分别为CX的特征向量和对应的特征值，其中i=1，…，N，并设特征值已按降序排列，即λ1≥λ2≥…≥λN，则K-L变换式为：[1]

Y=A(X-mx) (1.1)

其中变换矩阵A的行为CX的特征值，即：

式中：eij表示第i个特征向量的第j个分量。

K-L变换的性质

①Y的均值向量为零向量0。即：

mY=E{Y} =E{A(X-mX)}=0 (1.2)

②K-L变换使矢量信号各分量不相关，即变换域信号的协方差为对角矩阵。

③K-L反变换式为：

X=A-1Y+mX=ATY+mx (1.3)

④K-L变换是在均方误差准则下失真最小的一种变换，故又称作最佳变换。

这条性质与压缩编码有关。其意义是，如果在数据传输中只传送变换后的前n个系数组成的矢量，则根据这n个系数得到的恢复值可以得到最小的均方误差，其值为：

上式表明，在K-L变换下，最小均方误差值等于变换域中矢量信号的最小的N－n个方差的和。特别有意义的是，如果这些分量的均值为零，则在恢复时只要把这些分量置零，便可以使均方误差最小。

图像信号的K-L变换

K-L变换是一维变换，在对图像信号进行变换时，矢量可以是一幅图像或一幅图像中的子图像。矢量各分量之间的相关性反映了像素之间的相关性。为了得到矢量X，可以将图像或子图像的像素按行行相接或列列相接的次序排列，如图1所示。

(a)行行相接

(b)列列相接

图1由二维图像信号建立矢量信号

在建立了矢量信号之后，就要计算协方差矩阵CX，然后计算的特征矢量才能得到K-L变换矩阵A。

由此可见，尽管K-L变换具有性质(2)和(4)的最佳去相关和误差性能，但是由于求解特征值和特征根并非易事，特别是在维数高时甚至可能求不出来，而且变换矩阵与图像的内容有关，因而难以满足实时处理的要求。但是，K-L变换在变换编码中具有理论指导意义，人们通过比较，寻找出一些性能与K-L变换接近，但实现却容易得多的“准最佳”编码方法。

聚类变换认为：重要的分量就是能让变换后类内距离小的分量。类内距离小，意味着抱团抱得紧。但是，抱团抱得紧，真的就一定容易分类么？

如图1所示，根据聚类变换的原则，我们要留下方差小的分量，把方差大（波动大）的分量丢掉，所以两个椭圆都要向y轴投影，这样悲剧了，两个重叠在一起，根本分不开了。而另一种情况却可以这么做，把方差大的分量丢掉，于是向x轴投影，很顺利就能分开了。因此，聚类变换并不是每次都能成功的。