数值分析-线性方程组的迭代解法

迭代法

对于AX = b

可将方程组进行改写

得到X = BX + f

迭代法就是通过设定初值X0

然后通过Xk+1 = BXk + f不断迭代

迭代一定次数后，Xn 可近似的看做方程组的解

迭代法的收敛性

　　设X*为方程组的准确解

　　εk = || Xk  - X* ||

　　可以看到εk+1 = B * εk

　　迭代法收敛的充要条件是B的谱半径<1

　　B的谱半径为B最小的那个特征值

收敛阶

　　收敛阶就是收敛速度

　　平均收敛速度为-ln || Bk ||1/k

　　渐进收敛速度为 R(B) = -ln (ρ(B))

　　ρ(B)表示B的谱半径

　　

　　若要求|| εk || / || ε0 || <= σ

　　那么k >= -ln(σ) / R(B)

不同的收敛法就是获取B的方式有所不同

雅克比迭代法

　　将矩阵A分为

　　D:对角线上的元素

　　L:对角线之下的元素的相反数

　　U:对角线之上的元素的相反数

　　A = D - L - U

　　

　　DXk+1 = (L + U)Xk + b

高斯-赛德尔迭代法

　　(D-L)Xk+1 = UXk + b

　　高斯赛德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进

　　减少了计算量

原文地址：https://www.cnblogs.com/shensobaolibin/p/10204862.html

时间： 2024-07-29 15:48:43

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线性方程组的迭代解法——共轭梯度法

1.代码 %%共轭梯度法(用于求解正定对称方程组) %%线性方程组M*X = b,M是方阵,X0是初始解向量,epsilon是控制精度 function CGM = Conjugate_gradient_method(M,b,X0,epsilon) m = size(M);up = 1000;e = floor(abs(log(epsilon))); X(:,1) = X0; r(:,1) = b-M*X0;p(:,1) = r(:,1); for k = 1:up alpha = Inner_

线性方程组的迭代解法——最速下降法

1.代码 %%最速下降法(用于求解正定对称方程组) %%线性方程组M*X = b,M是方阵,X0是初始解向量,epsilon是控制精度 function TSDM = The_steepest_descent_method(M,b,X0,epsilon) m = size(M);up = 1000;e = floor(abs(log(epsilon))); X(:,1) = X0; r(:,1) = b-M*X0; for k = 1:up alpha = Inner_product(r(:,k

线性方程组的迭代解法——超松弛迭代法

1.代码 %%超松弛迭代法(此方法适用于大型稀疏矩阵但不适合与病态方程的解 %%线性方程组M*X = b,M是方阵,X0是初始解向量,epsilon是控制精度,omiga是松弛因子 function OIM = Overrelaxation_iterative_method(M,b,X0,epsilon) [m,n] = size(M); d = diag(M);L = zeros(m,n);U = zeros(m,n);D = zeros(m,n);eps = floor(abs(log(ep

线性方程组的迭代解法——雅可比迭代法

1.代码 %%雅可比迭代法(此迭代法对于病态矩阵的解不理想) %%线性方程组M*X = b,M是方阵,X0是初始解向量,epsilon是控制精度 function JIM = Jacobian_iteration_method(M,b,X0,epsilon) [m,n] = size(M); d = diag(M);L = zeros(m,n);U = zeros(m,n);D = zeros(m,n); delta = 0;ub = 100;X = zeros(m,ub);X(:,1) = X

线性方程组的迭代解法——高斯-塞得勒迭代法

1.代码 %%高斯-塞得勒迭代法 %%线性方程组M*X = b,M是方阵,X0是初始解向量,epsilon是控制精度 function GSIM = Gauss_Seidel_iterative_method(M,b,X0,epsilon) [m,n] = size(M); d = diag(M); L = zeros(m,n); U = zeros(m,n); D = zeros(m,n); ub = 100;X = zeros(m,ub);X(:,1) = X0;X_delta = X;X_

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