迭代法
对于AX = b
可将方程组进行改写
得到X = BX + f
迭代法就是通过设定初值X0
然后通过Xk+1 = BXk + f不断迭代
迭代一定次数后,Xn 可近似的看做方程组的解
迭代法的收敛性
设X*为方程组的准确解
εk = || Xk - X* ||
可以看到εk+1 = B * εk
迭代法收敛的充要条件是B的谱半径<1
B的谱半径为B最小的那个特征值
收敛阶
收敛阶就是收敛速度
平均收敛速度为-ln || Bk ||1/k
渐进收敛速度为 R(B) = -ln (ρ(B))
ρ(B)表示B的谱半径
若要求|| εk || / || ε0 || <= σ
那么k >= -ln(σ) / R(B)
不同的收敛法就是获取B的方式有所不同
雅克比迭代法
将矩阵A分为
D:对角线上的元素
L:对角线之下的元素的相反数
U:对角线之上的元素的相反数
A = D - L - U
DXk+1 = (L + U)Xk + b
高斯-赛德尔迭代法
(D-L)Xk+1 = UXk + b
高斯赛德尔迭代法是雅克比迭代法的一种改进
减少了计算量
原文地址:https://www.cnblogs.com/shensobaolibin/p/10204862.html
时间: 2024-10-10 22:57:10