数据结构

线段树

注意：空间开4倍

神奇标记

From8.26 Test_zsy（CPU监控）

如果一个点权为\(val\)的点被打上了\((a,b)\)标记，那么他的实际点权为\(max(a+val,b)\)

干啥滴？

标记不下放

• 区间加标记不下放，维护区间max或者最大值

方法是当前\(tag\)维护当前区域标记，\(t\)维护左右儿子的\(max+tag[now]\)，并没有快多少，如果仍然忘记见提交记录

并查集

维护二分图

并查集每个点维护是否要改颜色，然后按秩合并/按大小合并即可

实际上可以说是用期望树高为\(logn\)的树形结构维护信息

维护后继位置

快速得到后继位置

• [BZOJ2054]疯狂的馒头 维护数列的后继位置

  对一个数列进行\(10^7\)次区间覆盖，查询最终颜色。

  倒序做，每次做完一个区间把\([l,r]\)的并查集父亲指向\(r+1\)，表示扫到该区间，要从\(r+1\)开始染色，这样就可以快速得到下一个染色的位置，复杂度为\(O(n)\)

• [BZOJ2238]Mst 维护树形结构的后继位置

  对树上路径进行染色，查询最终颜色。

  路径拆成直上直下的两条，\(x,lca、y,lca\)，于是每次弄完把\([x,lca]\)的并查集父亲指向\(fa[lca]\)，就可以类似数列一样快速求得下一个位置了，复杂度为\(O(n)\)

堆

对于所有的父子结构，一定都有父亲的优先级大于左右儿子的优先级

可并堆的可持久化

左偏树可持久化，每次合并两个堆，只需要给经过的\(log\)个结点复制一遍就好了

#define lc H[x].ch[0]
#define rc H[x].ch[1]
struct heap {int ch[2],dis;double w;}H[M];
int Merge(int x,int y)
{
    if(!x||!y) return x+y;
    H[++node]=H[x];x=node;
    if(H[x].w>H[y].w) swap(x,y);
    rc=Merge(rc,y);
    if(H[lc].dis<H[rc].dis) swap(lc,rc);
    H[x].dis=H[rc].dis+1;
    return x;
}

这个可以用来完成\(k\)短路问题

dsu on tree

姑且叫它数据结构

方式&原理

步骤：

• 先递归做轻儿子的答案，再递归做重儿子的答案
• 暴力把当前结点的轻儿子扫一遍统计答案
• 如果当前结点是递归下来的轻儿子，扫一遍把答案清空，否则不做处理

要求： 离线算法

复杂度： \(O(nlogn)\)

分析：只需要考虑每个点被扫的次数，树剖下来每个点到根的路径最多有\(log\)条链，每逢轻重链交替的时候就会暴力去扫，于是每个点最多只会被扫\(log\)次，复杂度得证

适用范围

适用一些子树信息不好统计的题，可以类比于树上莫队

• 统计子树内数量最多的颜色的编号之和（Codeforces600E）
• 统计子树内距离\(i\)点不超过\(k\)的点的颜色数/某权值之和（BZOJ4771七彩树离线版/[湖南集训]谈笑风生）

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原文地址：https://www.cnblogs.com/xzyxzy/p/9903894.html