MG loves string
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问题描述
MGMG是一个很忙碌的男孩子。今天他沉迷于这样一个问题: 对于一个长度为NN的由小写英文字母构成的随机字符串,当它进行一次变换,所有字符ii都会变成a[i]a[i]。 MGMG规定所有a[i]a[i]构成了2626个字母组成的排列。 MGMG现在需要知道这个随机串变换到自身的期望变换次数。请你输出期望答案乘上26^n26?n??以后模 10000000071000000007 的结果。 MGMG认为这件事非常容易,不屑于用计算机解决,于是运用他高超的人类智慧开始进行计算。作为一名旁观者,你也想挑战MGMG智慧,请你写个程序,计算答案。输入描述
第一行一个整数TT,代表数据组数(1 <=T<=101<=T<=10)。 接下来,对于每组数据—— 第一行一个整数NN,表示给定的随机串长度(1<=N<=10000000001<=N<=1000000000)。 第二行2626个字母,表示a_ia?i??序列输出描述
对于每一组数据,输出一行。 显然,这个期望是一个实数。请你输出它乘上26^N26?N??以后模 10000000071000000007 的结果输入样例
2 2 abcdefghijklmnpqrstuvwxyzo 1 abcdefghijklmnopqrstuvwxyz输出样例
5956 26
【分析】
感觉BC的题挺好的啊【每次都能学到东西。。
首先,知道,这是个带LCM的期望。就是看随机串分别在长度为几的循环节里面,然后LCM。
然后,不同长度的循环节不会超过6个,1+2+3+4+5+6=21。
就是根据输入的那个串,只会有6种长度的循环节,所以你可以枚举真正的随机串涵盖的循环节有哪几个,枚举是2^6。
然后就是把n个字符放到那些循环节的字母集合中去,但是要保证每个循环节都一定有一个字母覆盖,问它的方案数。
其实这是经典的容斥原理,就是n个东西分到m个集合,让每个集合都至少有一个东西。
这里我们枚举子集就可以用容斥原理计算出来了【注意容斥,你要减掉的是没有涵盖某一个集合的,加上没有涵盖两个集合的。。。】
枚举子集是3^n(用二项式定理易证)
这个可以预处理的。
所以是$O(2^6*\log(n)+3^6)$
官方题解:
2017-04-02 10:41:18
时间: 2024-10-12 15:13:14