codevs 1012 最大公约数以及最小公倍数问题 x

题目描述 Description

输入二个正整数x0,y0(2<=x0<100000,2<=y0<=1000000),求出满足下列条件的P,Q的个数

条件:  1.P,Q是正整数

2.要求P,Q以x0为最大公约数,以y0为最小公倍数.

试求:满足条件的所有可能的两个正整数的个数.

输入描述 Input Description

二个正整数x0,y0

输出描述 Output Description

满足条件的所有可能的两个正整数的个数

样例输入 Sample Input

3 60

样例输出 Sample Output

4

首先你要知道一点：

若A×B代表二者的乘积，也就是二者最大的乘积，

如果用A×B除以二者的最小公倍数，就能得到了二者的最大公约数

当然前提是这两个数要是非零的两个整数

最大公约数=A×B/最小公倍数

反过来，最小公倍数=A×B/最大公约数

那么这道题就很简单地做出来了：

方法一：枚举

 1 #include<iostream>
 2 #include<cmath>
 3
 4 using namespace std;
 5
 6 int gcd(int a,int b)//求最大公约数
 7 {
 8     while(b!=0)//辗转相除法求最大公约数
 9     {
10       int qwq=a%b;
11       a=b;
12       b=qwq;
13     }
14     return a;
15     //return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
16 }
17
18 int main()
19 {
20     int x,y;
21     cin>>x>>y;//输入最大公约数以及最小公倍数
22     int v=x*y;//最大值
23     int s=(int)sqrt(v);//不用重复进行寻找
24     int n=0;
25     for(int i=x;i<=s;i++)
26     if((v%i==0)//如果最大值能够整除当前的数，则说明找到了一组可能是真的的解
27     &&(gcd(v/i,i)==x))//如果另外一个数与当前的数的最大公约数等于输入的最大公约数
28     n++;//进行计数
29     cout<<n*2;// 不进行重复的筛之后要加上另一块的
30     return 0;
31 }  

方法二：分解质因数（最优）

思路：题目要求最大公约数（gcd）为3，最小公倍数（lcm）为60的两个数p、q的组数，两个数都去掉gcd后，即样例中的3、60变为1、20。这样即可变为求gcd为1，lcm为20的两个数p、q的组数，即找两个互质的数，他们的乘积为20。那么可以对20进行质因数分解，得：2、2、5。盯住其中一个数，从质因数中选择。由于两个数要求互质，所以相同的质因数要合并，得到：4、5。选法有2^2=4种：1，4，5，20。对应的四组答案即：1-20，4-5，5-4，20-1。乘以gcd得到原来题目答案：3-60，12-15，15-12，60-3。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4
 5 using namespace std;
 6
 7 int main(){
 8     int x,y,z,k=0,i;//k为不同质因数的个数
 9     scanf("%d%d",&x,&y);
10     if(y%x!=0) printf("%d\n",0);
11     else{
12         z=y/x;//除以最大公约数x
13         for(i=2;i<=z;++i){//质因数分解
14             if(z%i==0){
15                 ++k;
16                 while(z%i==0)z=z/i;//合并相同的质因数
17             }
18         }
19         printf("%d\n",int(pow(2,k)));
20     }
21     return 0;
22 }