傅里叶级数

一：指数形式

给定一个周期为T的函数f(t)，那么它可以表示为无穷级数：

f(t)=∑_k=-∞^+∞a_k*e^ik(2∏/T)t（i为虚数单位）（1）

ak=(1/∏)∫₀^2∏f(t)*e^-ik(2∏/T)td_t

二：正弦形式

1：在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), 它是形如Asin(ωt+Φ) 的波,其中 A是振幅, ω是角频率, Φ是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一 系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 f(t)是一个周期为T 的波,在一定条件下可以把它写成

f(t)=A₀+∑_n=1^+∞A_nsin(nωt+Φ) =A₀+∑_n=1^+∞a_ncos(nωt)+b_nsin(nωt)

（根据sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ)

其中A_nsin(nωt+Φ)=a_ncos(nωt)+b_nsin(nωt) 是n阶谐波,
我们称上式右端的级数是由f(t) 所确定的傅里叶级数

2：三角函数正交性

设 c是任意实数, 是长度为[c,c+2∏] 的区间,由于三 角函数 是周期为2∏ 的函数,经过简单计算, 有

利用积化和差的三角公式容易证明

还有

我们考察三角函数系

其中每一个函数在长为 的区间上定义，其中任何 两个不同的函数乘积沿区间上的积分等零 ， 而每个函数自身平方的积分非零 。我们称这个 函数系在长为 的区间上具有正交性。

三：傅里叶级数

设函数f(x)已展开为全区间设的一致收敛的三角级数f(x)=(a₀/2)+Σ_k=1^+∞a_kcos(kx)+b_ksin(kx),现在利用三角函数系数的正交性来研究系数a₀,a_k,b_k (k=1,2....n)与f(x) 的关系。将上述展开式沿区间[-Π,+Π]积分，右边级数可以逐项积分，由(1)得到

又设n是任一正整数，对f(x)的展开式两边乘以cos(nx)沿[-Π,+Π]积分，由假定，右边可以逐项积分，由(1)和(2)(3) ，得到

即：

同样可得：

因此得到欧拉-傅里叶公式：

自然，这些系数也可以 沿别的长度为 的区间来积 分。

以上是在f(x) 已展开为一致收敛的三角级数的假定下得到系数的表达式的。然而从欧拉-傅里叶公式的形式上看，只要周期为2Π的函数f(x)在区间[-Π,+Π]上可积和绝对可积（如果f(x)是有界函数，则假定它是可积的。这时它一定是绝对可积的；如果f(x)是无界函数，就假定他是绝对可积，因而也是可积的，这样，不论在哪一种情形，都是可积和绝对可积了），就可以按欧拉-傅里叶公式来确定所有的数 ，从而作出三角级数

我们称这级数是f(x)关于三角函数系 的傅里叶级数，而a_k,b_k称为f(x)的傅里叶系数，记为