NOI题库7624 山区建小学

7624:山区建小学

Description

政府在某山区修建了一条道路，恰好穿越总共m个村庄的每个村庄一次，没有回路或交叉，任意两个村庄只能通过这条路来往。已知任意两个相邻的村庄之间的距离为di（为正整数），其中，0 < i < m。为了提高山区的文化素质，政府又决定从m个村中选择n个村建小学（设 0 < n < = m < 500 ）。请根据给定的m、n以及所有相邻村庄的距离，选择在哪些村庄建小学，才使得所有村到最近小学的距离总和最小，计算最小值。

Input

第1行为m和n，其间用空格间隔
第2行为(m-1) 个整数，依次表示从一端到另一端的相邻村庄的距离，整数之间以空格间隔。

例如
10 3
2 4 6 5 2 4 3 1 3
表示在10个村庄建3所学校。第1个村庄与第2个村庄距离为2，第2个村庄与第3个村庄距离为4，第3个村庄与第4个村庄距离为6，...，第9个村庄到第10个村庄的距离为3。

Output

各村庄到最近学校的距离之和的最小值。

Sample Input

10 2

3 1 3 1 1 1 1 1 3

Sample Output

18

【思路】

划分型DP。

首先对于ij区间，将学校建在中点位置距离区间内的点最短。

设d[i][j]表示前i个村庄建j所学校的最短距离。则有转移式：

d[i][j]=min{
d[k][j-1]+cost(k+1,i) }  (j-1<= k <i)

转移式表示在区间k+1..i的中点建立一所学校使这个区间内的所有村庄都到这里上学，其中cost为最小距离之和。

【代码】

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<cmath>
 4 using namespace std;
 5
 6 const int maxn = 500+10;
 7 const int INF=0x3f3f3f3f;
 8
 9 int d[maxn][maxn];
10 int sum[maxn];
11 int cost[maxn][maxn];
12 int n,m;
13
14 void get_cost()
15 {
16     for(int i=1;i<=n;i++)
17        for(int j=i;j<=n;j++)
18         {
19             cost[i][j]=0;
20             int mid=i+(j-i)/2;
21             for(int k=i;k<=j;k++) cost[i][j] += abs(sum[mid]-sum[k]);
22         }
23 }
24
25 int dp(int i,int j)
26 {
27     int &ans=d[i][j];
28     if(ans<INF) return ans;
29
30     if(i<j) return INF;
31     if(i==j) return ans=0;       //i==j
32     if(j==1) return ans=cost[1][i]; //cost(1,i)
33
34     for(int k=j-1;k<i;k++)
35        ans=min(ans,dp(k,j-1)+cost[k+1][i]);
36     return ans;
37 }
38
39 int main() {
40     ios::sync_with_stdio(false);
41     cin>>n>>m;
42     for(int i=2;i<=n;i++) cin>>sum[i] , sum[i] += sum[i-1];
43
44     get_cost();
45
46     memset(d,0x3f,sizeof(d));
47     cout<<dp(n,m)<<"\n";
48
49     return 0;
50 }