最大似然估计(MLE)和最大后验概率(MAP)

最大似然估计:

最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法,即:“模型已定,参数未知”。简单而言,假设我们要统计全国人口的身高,首先假设这个身高服从服从正态分布,但是该分布的均值与方差未知。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高,但是可以通过采样,获取部分人的身高,然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。

最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设,就是所有的采样都是独立同分布的。下面我们具体描述一下最大似然估计:

首先,假设为独立同分布的采样,θ为模型参数,f为我们所使用的模型,遵循我们上述的独立同分布假设。参数为θ的模型f产生上述采样可表示为

回到上面的“模型已定,参数未知”的说法,此时,我们已知的为,未知为θ,故似然定义为:

  

  在实际应用中常用的是两边取对数,得到公式如下:

  其中称为对数似然,而称为平均对数似然。而我们平时所称的最大似然为最大的对数平均似然,即:

  

举个别人博客中的例子,假如有一个罐子,里面有黑白两种颜色的球,数目多少不知,两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例,但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来,记录球的颜色,然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复,我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中,有七十次是白球,请问罐中白球所占的比例最有可能是多少?很多人马上就有答案了:70%。而其后的理论支撑是什么呢?

我们假设罐中白球的比例是p,那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来,在记录颜色之后,我们把抽出的球放回了罐中并摇匀,所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中,七十次是白球的概率是P(Data | M),这里Data是所有的数据,M是所给出的模型,表示每次抽出来的球是白色的概率为p。如果第一抽样的结果记为x1,第二抽样的结果记为x2... 那么Data = (x1,x2,…,x100)。这样,

    P(Data | M)

     = P(x1,x2,…,x100|M)

     = P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M)

     = p^70(1-p)^30.

那么p在取什么值的时候,P(Data |M)的值最大呢?将p^70(1-p)^30对p求导,并其等于零。

    70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。

    解方程可以得到p=0.7。

在边界点p=0,1,P(Data|M)=0。所以当p=0.7时,P(Data|M)的值最大。这和我们常识中按抽样中的比例来计算的结果是一样的。

假如我们有一组连续变量的采样值(x1,x2,…,xn),我们知道这组数据服从正态分布,标准差已知。请问这个正态分布的期望值为多少时,产生这个已有数据的概率最大?

    P(Data | M) = ?

根据公式

   

  可得:

  对μ求导可得 ,则最大似然估计的结果为μ=(x1+x2+…+xn)/n

由上可知最大似然估计的一般求解过程:

  (1) 写出似然函数;

  (2) 对似然函数取对数,并整理;

  (3) 求导数 ;

  (4) 解似然方程

注意:最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。而未考虑该模型本身的概率。这点与贝叶斯估计区别。贝叶斯估计方法将在以后的博文中描述

本文参考

http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood

最大后验概率:

最大后验估计是根据经验数据获得对难以观察的量的点估计。与最大似然估计类似,但是最大的不同时,最大后验估计的融入了要估计量的先验分布在其中。故最大后验估计可以看做规则化的最大似然估计。

首先,我们回顾上篇文章中的最大似然估计,假设x为独立同分布的采样,θ为模型参数,f为我们所使用的模型。那么最大似然估计可以表示为:

现在,假设θ的先验分布为g。通过贝叶斯理论,对于θ的后验分布如下式所示:

最后验分布的目标为:

    注:最大后验估计可以看做贝叶斯估计的一种特定形式。

  举例来说:

  假设有五个袋子,各袋中都有无限量的饼干(樱桃口味或柠檬口味),已知五个袋子中两种口味的比例分别是

    樱桃 100%

    樱桃 75% + 柠檬 25%

    樱桃 50% + 柠檬 50%

    樱桃 25% + 柠檬 75%

    柠檬 100%

  如果只有如上所述条件,那问从同一个袋子中连续拿到2个柠檬饼干,那么这个袋子最有可能是上述五个的哪一个?

我们首先采用最大似然估计来解这个问题,写出似然函数。假设从袋子中能拿出柠檬饼干的概率为p(我们通过这个概率p来确定是从哪个袋子中拿出来的),则似然函数可以写作

  

  由于p的取值是一个离散值,即上面描述中的0,25%,50%,75%,1。我们只需要评估一下这五个值哪个值使得似然函数最大即可,得到为袋子5。这里便是最大似然估计的结果。

上述最大似然估计有一个问题,就是没有考虑到模型本身的概率分布,下面我们扩展这个饼干的问题。

假设拿到袋子1或5的机率都是0.1,拿到2或4的机率都是0.2,拿到3的机率是0.4,那同样上述问题的答案呢?这个时候就变MAP了。我们根据公式

  

写出我们的MAP函数。

  

根据题意的描述可知,p的取值分别为0,25%,50%,75%,1,g的取值分别为0.1,0.2,0.4,0.2,0.1.分别计算出MAP函数的结果为:0,0.0125,0.125,0.28125,0.1.由上可知,通过MAP估计可得结果是从第四个袋子中取得的最高。

  上述都是离散的变量,那么连续的变量呢?假设为独立同分布的,μ有一个先验的概率分布为。那么我们想根据来找到μ的最大后验概率。根据前面的描述,写出MAP函数为:

  

  此时我们在两边取对数可知。所求上式的最大值可以等同于求

  

  的最小值。求导可得所求的μ为

  

  以上便是对于连续变量的MAP求解的过程。

在MAP中我们应注意的是:

MAP与MLE最大区别是MAP中加入了模型参数本身的概率分布,或者说。MLE中认为模型参数本身的概率的是均匀的,即该概率为一个固定值。

来自为知笔记(Wiz)

时间: 2024-10-18 13:21:27

最大似然估计(MLE)和最大后验概率(MAP)的相关文章

机器学习基础系列--先验概率 后验概率 似然函数 最大似然估计(MLE) 最大后验概率(MAE) 以及贝叶斯公式的理解

目录 机器学习基础 1. 概率和统计 2. 先验概率 3. 后验概率 4. 似然函数 5. 有趣的野史--贝叶斯和似然之争-最大似然概率(MLE)-最大后验概率(MAE)-贝叶斯公式 总结:先验概率 后验概率以及似然函数的关系 机器学习基础 1. 概率和统计 概率(probabilty)和统计(statistics)看似两个相近的概念,其实研究的问题刚好相反. 顾名思义: 概率研究的问题是,已知一个模型和参数,怎么去预测这个模型产生的结果的特性(例如均值,方差,协方差等等). 统计研究的问题则相

最大似然估计 (MLE) 最大后验概率(MAP)

1) 最大似然估计 MLE 给定一堆数据,假如我们知道它是从某一种分布中随机取出来的,可是我们并不知道这个分布具体的参,即“模型已定,参数未知”.例如,我们知道这个分布是正态分布,但是不知道均值和方差:或者是二项分布,但是不知道均值. 最大似然估计(MLE,Maximum Likelihood Estimation)就可以用来估计模型的参数.MLE的目标是找出一组参数,使得模型产生出观测数据的概率最大: 其中就是似然函数,表示在参数下出现观测数据的概率.我们假设每个观测数据是独立的,那么有 为了

最大似然估计 (MLE)与 最大后验概率(MAP)在机器学习中的应用

最大似然估计 MLE 给定一堆数据,假如我们知道它是从某一种分布中随机取出来的,可是我们并不知道这个分布具体的参,即“模型已定,参数未知”. 例如,对于线性回归,我们假定样本是服从正态分布,但是不知道均值和方差:或者对于逻辑回归,我们假定样本是服从二项分布,但是不知道均值,逻辑回归公式得到的是因变量y的概率P = g(x), x为自变量,通过逻辑函数得到一个概率值,y对应离散值为0或者1,Y服从二项分布,误差项服从二项分布,而非高斯分布,所以不能用最小二乘进行模型参数估计,可以用极大似然估计来进

深度学习中交叉熵和KL散度和最大似然估计之间的关系

机器学习的面试题中经常会被问到交叉熵(cross entropy)和最大似然估计(MLE)或者KL散度有什么关系,查了一些资料发现优化这3个东西其实是等价的. 熵和交叉熵 提到交叉熵就需要了解下信息论中熵的定义.信息论认为: 确定的事件没有信息,随机事件包含最多的信息. 事件信息的定义为:\(I(x)=-log(P(x))\):而熵就是描述信息量:\(H(x)=E_{x\sim P}[I(x)]\),也就是\(H(x)=E_{x\sim P}[-log(P(x))]=-\Sigma_xP(x)l

【机器学习基本理论】详解最大似然估计(MLE)、最大后验概率估计(MAP),以及贝叶斯公式的理解

https://mp.csdn.net/postedit/81664644 最大似然估计(Maximum likelihood estimation, 简称MLE)和最大后验概率估计(Maximum a posteriori estimation, 简称MAP)是很常用的两种参数估计方法,如果不理解这两种方法的思路,很容易弄混它们. 下文将详细说明MLE和MAP的思路与区别.先讲解MLE的相应知识. 但别急,我们先从概率和统计的区别讲起. 1概率和统计是一个东西吗?   概率(probabilt

最大似然估计和最大后验概率MAP

最大似然估计是一种奇妙的东西,我觉得发明这种估计的人特别才华.如果是我,觉得很难凭空想到这样做. 极大似然估计和贝叶斯估计分别代表了频率派和贝叶斯派的观点.频率派认为,参数是客观存在的,只是未知而矣.因此,频率派最关心极大似然函数,只要参数求出来了,给定自变量X,Y也就固定了,极大似然估计如下所示: 相反的,贝叶斯派认为参数也是随机的,和一般随机变量没有本质区别,正是因为参数不能固定,当给定一个输入x后,我们不能用一个确定的y表示输出结果,必须用一个概率的方式表达出来,所以贝叶斯学派的预测值是一

先验概率、最大似然估计、贝叶斯估计、最大后验概率

先验概率 先验概率(prior probability)是指根据以往经验和分析得到的概率,如全概率公式,它往往作为"由因求果"问题中的"因"出现的概率. 先验概率的分类 利用过去历史资料计算得到的先验概率,称为客观先验概率: 当历史资料无从取得或资料不完全时,凭人们的主观经验来判断而得到的先验概率,称为主观先验概率. 先验概率的条件 先验概率是通过古典概率模型加以定义的,故又称为古典概率.古典概率模型要求满足两个条件:(1)试验的所有可能结果是有限的;(2)每一种可

最大似然估计与最大后验概率估计

本文转自http://blog.csdn.net/sunmenggmail/article/details/13004675 1. 最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法,即:“模型已定,参数未知”.简单而言,假设我们要统计全国人口的身高,首先假设这个身高服从服从正态分布,但是该分布的均值与方差未知.我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高,但是可以通过采样,获取部分人的身高,然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差.最大似然就是寻找最可能的参数,使得这些采样样

最大似然估计实例 | Fitting a Model by Maximum Likelihood (MLE)

参考:Fitting a Model by Maximum Likelihood 最大似然估计是用于估计模型参数的,首先我们必须选定一个模型,然后比对有给定的数据集,然后构建一个联合概率函数,因为给定了数据集,所以该函数就是以模型参数为自变量的函数,通过求导我们就能得到使得该函数值(似然值)最大的模型参数了. Maximum-Likelihood Estimation (MLE) is a statistical technique for estimating model parameters