本文转载自http://blog.csdn.net/luoshixian099/article/details/47807103。

SURF (Speed Up Robust Features)是SIFT改进版也是加速版，提高了检测特征点的速度，综合性能要优于SIFT。

1.积分图像

SURF是对积分图像进行操作，从而实现了加速，采用盒子滤波器计算每个像素点的Hessian矩阵行列式时，只需要几次加减法运算，而且运算量与盒子滤波器大小无关，所以能够快速的构成出SURF的尺度金字塔。

积分图像中每个像元的值，是原图像上对应位置的左上角所有元素之和

如上图：我们要得到绿色矩形区域内的矩形像素之和S，只需要在积分图上，运算S=D-B-C+A就可以得到。

2.尺度空间的构造

2.1

对DoH的近似

SIFT采用了对LoG的近似算法DoG，而SURF (Speed Up Robust Features) 采用对DoH近似进行特征点检测，LoG与DoH是检测特征点的两种常用方法。

连续函数f(x,y)的二阶微分Hessian矩阵。

我们可以利用Hessian矩阵的行列式值判断点(x,y)是否是极值点

在离散空间上，为了得到Hessian矩阵的四个元素，SURF采用二阶标准高斯核函数的对图像卷积运算，因为高斯核可以构造出不同尺度下的响应图像。在尺度σ下，点 X=(x,y) 处，对应的Hessian矩阵。

Lxx是标准高斯函数g(x,y,σ)的二阶偏导数与图像在点（x,y）处卷积的结果；

同理，Lyy,Lxy的计算方法。这样可以计算出图像上所有点的Hessian行列式值。

为了能加速运算，Bay等人采用盒子滤波器对高斯二阶微分模板近似处理。

Lyy                                   Lxy                                    Dyy                                     Dxy

如图所示，图1是y方向的二阶高斯微分模板，图3采用盒子滤波器对其进行近似，数字表示对应颜色区域的权值，灰色区域权值为0，采用盒子滤波器与图像卷积的结果记为Dxx,Dyy,Dxy。因为盒子滤波器在积分图像上计算非常快。

由于是对原Hessian矩阵的近似，由相关推导可以证明采用下面的公式，更接近真实值。由于不同的尺度下，对应的值(0.9）不同，这里为了统一，要求计算盒子滤波响应时，对模板盒子进行归一化处理。

采用上面的公式，图像上每一个像素点计算出一个Hessian矩阵响应值，作为在尺度σ下的响应图像。

2.2

构造尺度空间

构造尺度空间是为了在空间域与尺度域上找到极值点，作为初步的特征点。构造尺度空间传统的方法即构造一个高斯金字塔，原始图像作为最底层，然后对图像进行高斯模糊再降采样（2倍）作为下一层图像，循环迭代下去。高斯金字塔是对原图像的尺寸是在不断变化的，高斯模板尺寸不变。每一层的建立必须等到上一层构造完毕后才能进行处理，依赖性很强，这样造成速度上很慢。SURF构建尺度金字塔的方法采用原图像大小不变，变化的是模板大小，即采用变化的模板盒子尺寸对原图像进行滤波，构造出尺度空间。同时，SURF可以采用并行运算，对金字塔中的每层图像同时进行处理。通过逐渐增大的盒子尺寸滤波模板与积分图像卷积产生的Hessian矩阵行列式的响应图像，构造出金字塔。

如下图所示，左图为构建高斯金字塔的方法，右图为SURF构建的方法。

SURF首先采用9×9的盒子滤波器（近似等于σ=1.2时的高斯二阶微分，记为尺度s=1.2）得到的响应图像作为最底层的图像，然后逐渐增大盒子的尺寸，对原图像继续进行滤波处理。与SIFT类似，把响应图像分成若干组，每组若干层。每组都是采用逐渐增大的滤波器尺寸进行处理。层与层之间的尺度变化量是高斯二阶微分模板决定的。对于9×9的滤波器，由于要保证滤波器的结构比例不变同时要求存在滤波器模板中心，每个块最小增加量是2，由于有三个块，所以最小增加量是6，即下一个滤波器的大小为15×15，依次增加为21×21,27×27，...；利用这样的模板序列，就构造出尺度空间。

2.3D非极大值抑制

与SIFT类似，对每层图像上的每个像素与空间邻域内和尺度邻域内的响应值比较（不包括第一层与最后一层图像），同层上有8个邻域像元，向量尺度空间共有2×9=18个，共计26个像元的值进行比较，如果是极大值则保留下来，作为候选特征点。

同时如果特征点的响应值小于Hessia行列式的阈值，也被排除。

3.准确定位特征点

由于是离散空间的极值点，通过拟合方法，准确定位到特征点的位置，每个特征点包含三个信息H(x,y,σ)，即位置与尺度。与SIFT的方法一样，可以看我写的SIFT原理的文章。

求导，并令其等于0得：

计算方法：

,

求得，即在三个方向的偏移量

通过以上的方法，即找到了每个特征点的位置，下面介绍SURF特征点的描述子。

4.特征点描述子

4.1

为特征点分配主方向

为了保证旋转不变性，首先要为特征点分配主方向。以特征点为中心，6s为半径的圆域，统计所有像素点的Harr小波响应。算法上就是采用下面的模板对图像卷积运算，作为每个像素点水平与垂直方向Harr小波响应。Harr小波模板的长度为4s。尺度s的计算，是根据当前模板的大小。

,Harr小波模板（黑色1，白色-1）

圆域内的每个像素都计算出Harr小波水平响应与垂直响应值，同时乘以对应位置的高斯权重（σ=2.5s）.
为了求取主方向，采用一个张角为60度的扇形滑动窗口，计算其区域内的Harr小波水平与垂直方向的响应之和，滑动扇形窗口，得到最大的响应区域对应的方向即为此特征点的主方向。

4.2

形成特征矢量

沿着主方向，取20s×20s的矩形区域作为其邻域，分成4×4个子区域，统计每个子区域内像素点的Harr小波模板，沿着主方向与垂直于主方向的响应，Harr小波模板的宽度为2s。统计16个子区域的响应信息，每个子区域采用下面公式的方法进行统计，同时每个像素点的响应要乘以对应位置的高斯权重（σ = 3.3s）。

这样每个子区域携带4个信息，共有16个子区域，共64维。最后为了防止光照与对比度的影响，对特征矢量归一化处理。

参考：
SURF: Speeded Up Robust Features ：Herbert Bay, Tinne Tuytelaars, and Luc Van Gool
http://blog.csdn.net/crzy_sparrow/article/details/7392345
http://blog.csdn.net/yangtrees/article/details/7482960
http://www.cnblogs.com/tornadomeet/archive/2012/08/17/2644903.html