高等数学在中学数学中的应用

设$a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{R}$.证明: $\sum_{i,j=1}^n\frac{a_ia_j}{i+j}\geq 0$.

注意到
\begin{align*}
\sum_{i,j=1}^n\frac{a_ia_j}{i+j}
&=\sum_{i,j=1}^na_ia_j\int_0^1x^{i+j-1}\,\mathrm{d}x\\
&=\int_0^1\frac{1}{x}\sum_{i,j=1}^n\left(a_ix^i\right)\left(a_jx^j\right)\,\mathrm{d}x
=\int_0^1\frac{1}{x}\left(\sum_{i=1}^na_ix^i\right)^2\geq 0.
\end{align*}

原文地址:https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/12101366.html

时间: 2024-10-22 15:28:09

高等数学在中学数学中的应用的相关文章

现行统编中学数学教科书有多烂

姜树生 超级数学建模 昨天 如我们以前所介绍的,四年多来数学教育技术讨论班系统地研究了现行中学数学统编教科书,从头到尾过了至少两遍,参看了人教版.北师大版等各种版本,并及时跟进新版.原本计划最终给出一个系统的研究报告,但现在看来这样一个报告没有人能有耐心读下来,因为问题太多了.哪里有严重的问题? 如果反过来问“哪里没有严重的问题”倒还容易回答些. 因此,本文采用鲁迅写<马上日记>的方式,仅摘取几个“精彩”片段供大家欣赏. 例0.小学教科书的内容 初中数学课本中的一些课题如图形认识初步.概率初步

数学中的生物学特性----遗传和变异

数学中的生物学特性----遗传和变异 说明:此篇博文,是授课偶得,纯属玩笑之举,脱离了数学的严密性,不过从其他学科来解读数学,也不失一乐,读完也许能更深的体会到万事万物都是有关联的. 学习过生物学的人大抵都知道,子代会接受父代的遗传,当然也会有部分的变异.用这一观点我们也能解释数学上的函数问题. 比如,已知函数\(f(x)=x\)和函数\(g(x)=\cfrac{1}{x}\),都是我们高中阶段需要熟练掌握的函数之一,那么函数\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}=f(x)+g(x)\),所

【数学】【其他】数学中常用符号

写在前面 对于数学中的一些符号的解释 整理自网络 持续更新 来源标注为主要来源,个人整理的部分很多 目录 Δ和δ ζ η Θ和θ λ μ Ο Π和π ∑和σ Φ和φ ψ Ω和ω MOD ≡ | ∫  ∮ n! !n Δ和δ /'delt?/ Alt+小键盘42660 Alt+小键盘42692 Δ在数学中,在一元二次方程ax2+bx+c == 0(a≠0)或二次函数y == ax2+bx+c(a≠0)中代表b2-4ac Δ在物理学中,表示物理量的变化 δ在数学和科学,表示变数的变化 δ也表示数学中

数学中的熵-相关问题

1. 猜数字游戏 A 写下一个数 $x$,其取值范围为 $x\in [1,n]$,B 来猜这个数字是多少,A 会告诉 B 猜的数字比 $x$ 大了还是小了,问 B 最少猜多少次可以猜出这个数字? 把 $x$ 看作一个随机数,他的取值范围是$[1,n]$,B 第一次任意猜一个数,猜中的概率是 $P(x) = \frac{1}{n}$.利用数学中的熵的定义,B 猜中的熵是 $$S_{x\in[1,n]} = -\Sigma_{x\in[1,n]}{P(x)\log_2 P(x)} = \log_2

我国中学数学教育内容陈旧,属于中世纪数学水平

查阅2015年高考数学试题,没有任何微积分内容,让人失望.一千万微积分现代文盲进入社会劳动大军,令人堪忧. 现在,微积分课程已经进入所有俄罗斯中学.中国与俄罗斯青年交流,中国"小毛头"显得傻傻的,对微积分毫无所知. 今年高考数学试题内容仅限于几何.三角.代数,考察的多半是考生的答题技巧,而不是对数学基本概念的理解.孩子的聪明才智得不到充分体现. 回顾历史,上世纪20-30年代,丹麦哥本哈根量子力学学派,研究成果惠及全人类.为什么?哥本哈根学派成员研究(量子)问题不分昼夜,不分场合,有时

数学中几种经常使用的距离

数学中有非常多不同种类的距离,经常使用于几何.高等代数等数学研究. 多种多样的距离在数学建模.计算机学习中有着不小的应用. 比方,A*搜索时的评估函数. 比方,在机器学习中,做分类时经常须要估算不相同本之间的类似性度量(Similarity Measurement).这时通常採用的方法就是计算样本间的距离.採用什么样的方法计算距离是非常讲究.甚至关系到分类的正确与否. 欧氏距离(Euclidean Distance) 欧氏距离是最易于理解的一种距离计算方法,源自欧几里得几何中两点间的距离公式.

如何解决Maple的应用在数学中

对任意数学和技术学科的研究员.教师和学生而言,Maple是一个必备的工具.通过Maple,教师将复杂数学问题注入生命,学生的精力集中在概念理解上而不是如何使用工具上,研究员可以开发更复杂的算法或模型.Maple软件系统在教学应用中越来越受到人们的接受和认可. Maple 作为教育工具,已被学校老师应用在各种理工科课程中.与其他工具相比,Maple具有以下显著的特征: Maple无缝集成数值和符号计算,可以执行任意精确度的数值计算,即任意位数的小数和任意大的整数运算.包含各个数学分支的函数包,进行

数学中常用几何画板绘制椭圆

圆锥曲线是高中数学的重点和难点,也是历来高考的必考内容,所以对于高中生来说,弄懂圆锥曲线这块难啃的骨头,是很有必要的.其中要熟练掌握的圆锥曲线之一就是椭圆,它是圆锥与平面的截线,其实要想画出椭圆,其方法不止一种,下面就一起来通过几何画板教程学学椭圆的五种画法. 方法一.利用椭圆第一定义构造椭圆 椭圆第一定义:平面内到两个定点的距离之和等于定长2a(a>0)的点的轨迹就是椭圆,按照此定义可画出椭圆,具体步骤如下: 1.单击“圆工具”,在画板的适当位置任意画一个圆,将圆心的标签改为F1.单击“点工具

高中数学中的角的求解

\(\fbox{例1}\)(2017凤翔中学高三第三次月考第10题)(异面直线所成的角) 长方体\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中,\(AB=AA_1=2\),\(AD=1\),则异面直线\(BC_1\)与\(AC\)所成的角的余弦值是多少? 法1:立体几何法,作证算,思路:将两条异面直线平移至一个三角形中,然后解三角形得到. 将\(BC_1\)平移到\(AD_1\),联结\(CD_1\),则\(\angle CAD_1\)为两条异面直线所成的角, 在\(\Delta ACD_1\)中