题目描述
平面上有$n$个点,第$i$个点的坐标为$X_i,Y_i$。对于其中的一个非空点集$S$,定义$f(S)$为一个最小矩形,满足:
$\bullet$覆盖$S$中所有的点(在边界上也算覆盖);
$\bullet$边与坐标轴平行。
求所有不同的$f(S)$的面积和对$10^9+7$取模的结果。两个矩形被认为是不同的,当且仅当它们顶点坐标不同。
输入格式
从文件$rectangle.in$中读入数据。
第一行一个整数$n$。
接下来$n$行,每行两个整数$X_i,Y_i$。
输出格式
输出到文件$rectangle.out$中。
一行一个整数表示答案。
样例
样例输入:
4
1 2
3 1
4 4
5 1
样例输出:
45
数据范围与提示
样例解释:
有$8$个面积大于$0$的不同矩形,以下是它们左下角和右上角的坐标:
$(1,1),(3,2);(1,1),(4,4);(1,1),(5,2);(1,1),(5,4)$
$(1,2),(4,4);(3,1),(4,4);(3,1),(5,4);(4,1),(5,4)$
数据范围:
对于所有数据,满足$2\leqslant n\leqslant 10^4,1\leqslant X_i,Y_i\leqslant 2500$,没有重复的点。
$\bullet Subtask1(13\%)$,$n\leqslant 18$。
$\bullet Subtask2(9\%)$,$n\leqslant 50$。
$\bullet Subtask3(25\%)$,$n\leqslant 300$。
$\bullet Subtask4(21\%)$,$n\leqslant 2500,X_i\neq X_j,Y_i\neq Y_j$。
$\bullet Subtask5(19\%)$,$n\leqslant 2500$。
$\bullet Subtask6(13\%)$,没有特殊的约束。
题解
先来考虑$21\%$的$X_i\neq X_j,Y_i\neq Y_j$的情况。
我们可以$n^2$枚举左右边界,那么设边界上的点为$(L,y_1)$和$(R,y_2)$。
那么只有位于$(L,R)$且纵坐标$>\max(y_1,y_2)$和$<\min(y_1,y_2)$的点才能做贡献,我们可以考虑树状数组,存储$\sum y$即可(长度是变化的,但是高度不变)。
现在来考虑一般情况,每个$L$和$R$上可能有很多的点,我们依次枚举计数即可。
但是可能会出现如下图中的情况:
显然,我们在统计答案点$1,3$和点$2,3$的贡献的时候会将紫色矩阵算重,不用担心,我们只需要将纵坐标最靠下的统计就好了。
代码实现稍繁琐。
时间复杂度:$\Theta(nm\log m)$。
期望得分:$100$分。
实际得分:$100$分。
代码时刻
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int mod=1000000007; int n; int Map[2501][2501]; int tr[2][2501][2501]; bool vis[2501][2501]; long long ans; int lowbit(int x){return x&-x;} void add(int id,int k,int x,int w) { for(int i=x;i<=2500;i+=lowbit(i)) tr[id][k][i]+=w; } int ask(int id,int k,int x) { int res=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i))res+=tr[id][k][i]; return res; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) { int x,y; scanf("%d%d",&x,&y); Map[x][++Map[x][0]]=y; } for(int i=1;i<=2500;i++) { sort(Map[i]+1,Map[i]+Map[i][0]+1); Map[i][Map[i][0]+1]=2501; } for(int i=1;i<=2500;i++) { if(!Map[i][0])continue; for(int j=1;j<=Map[i][0];j++) if(!vis[i][Map[i][j]]) { vis[i][Map[i][j]]=1; add(1,i,Map[i][j],1); add(0,i,Map[i][j],Map[i][j]); } for(int j=i-1;j;j--) { if(!Map[j][0])continue; int l1=1,l2=1; for(int k=1;k<=Map[j][0];k++) if(!vis[i][Map[j][k]]) { vis[i][Map[j][k]]=1; add(1,i,Map[j][k],1); add(0,i,Map[j][k],Map[j][k]); } int wzc=max(Map[i][1],Map[j][1]); while(Map[i][l1+1]<=wzc)l1++; while(Map[j][l2+1]<=wzc)l2++; while(l1<=Map[i][0]&&l2<=Map[j][0]) { int flag=min(Map[i][l1+1],Map[j][l2+1]); ans=(ans+1LL*(i-j)*((ask(0,i,flag-1)-ask(0,i,wzc-1))*ask(1,i,min(Map[i][l1],Map[j][l2]))-((ask(1,i,flag-1)-ask(1,i,wzc-1))*ask(0,i,min(Map[i][l1],Map[j][l2])))))%mod; wzc=flag; if(Map[i][l1+1]<=wzc)l1++; if(Map[j][l2+1]<=wzc)l2++; } } } printf("%lld\n",ans); return 0; }
rp++
原文地址:https://www.cnblogs.com/wzc521/p/11619495.html