一、什么是\(fhq-treap\)

\(fhq-treap\)：非旋转\(treap\)，顾名思义，不用像普通\(treap\)那样繁琐的旋转，只需要通过分裂和合并，就可以实现基本上是所有数据结构能实现的操作，并且短小、精悍，时间复杂度与\(splay\)齐当，算是一个十分易懂且优秀的算法（并不需要提前学习普通\(treap\)）

接下来，我们就来看看\(fhq-treap\)是怎么实现的

二、\(fhq-treap\) 的性质

在这棵平衡树里面，我们保证

左子树节点的权值（在序列中的位置）全部小于根的权值（在序列中的位置），
右子树节点的权值（在序列中的位置）全部大于根的权值（在序列中的位置），
所有分裂和合并操作都满足这个性质

我们还得考虑一个灵魂拷问：为什么\(fhq-treap\)叫平衡树？

因为它满足平衡性，可以达到期望层数\(logn\)层，大大减小了时间复杂度

妈妈再也不用担心我的时间复杂度了

三、\(fhq-treap\) 的两大操作

首先，我们先来明确一下\(fhq-treap\)里面的基本变量

\(ch[2]\)：两个儿子
\(siz\)：以这个节点为根的子树的大小
\(val\)：这个节点的权值
\(rd\)：这个节点的随机权值，用来保证树的平衡性，在新建节点时由\(rand\)得到
\(rev\)：这个节点所代表区间的旋转标记，为0或1

\(Split\)：分裂操作

在题目中，有可能以权值排序建树，也可能以序列顺序建树

这里以权值排序建树

我们将一棵树分裂为两部分：权值<=k和权值>k的，我们称这两部分的节点组成的树为\(x\)和\(y\)

那么怎么分裂呢？

我们考虑，如果当前节点的权值大于k

那么因为右子树的节点权值明显全部都比k大，所以当前节点以及右子树的节点全部加入\(y\)树中，接着继续分裂左子树

如果小于等于k同理

因为它的\(siz\)改变了，所以最后记得\(update\)当前的树

void split(int now,int k,int &x,int &y)
//将以now为根的子树中权值<=k的节点分裂为x子树，>k的节点分裂为y子树
{
    if(!now)x=y=0;
    else
    {
        if(k<t[now].val)//如果当前根的val大于k
        {
            y=now;//加入y树中
            split(t[now].ch[0],k,x,t[y].ch[0]);
            //分裂左子树，因为接下来遍历到的节点权值一定小于当前的权值
            //所以如果有满足要求的，全部接到y的左子树上，满足性质
            up(y);
        }
        else
        {
            x=now;//加入x树中
            split(t[now].ch[1],k,t[x].ch[1],y);//与上同理
            up(x);
        }
    }
}

这是以序列顺序建树的：

void split(int now,int k,int &x,int &y)
{
    if(!now)x=y=0;
    else
    {
        if(k<=t[t[now].ch[0]].siz)
        {
            y=now;
            split(t[now].ch[0],k,x,t[y].ch[0]);
            up(y);
        }
        else
        {
            x=now;
            split(t[now].ch[1],k-t[t[now].ch[0]].siz-1,t[x].ch[1],y);
            //因为k>左子树的siz，说明k在右子树中
            //那么在遍历右子树的时候，所查找的排名要减去左子树的siz和这个节点
            up(x);；
        }
    }
}

\(Merge\)：合并操作

我们把子树分裂出来后，肯定要将子树合并回去

所以合并要怎么写呢？

我们在合并时，要考虑到上述的平衡性，所以在合并时要满足平衡性，就要用到随机权值\(rd\)辅助

如果要将\(x\)，\(y\)合并，那么当\(t[x].rd<t[y[.rd\)时，我们就将树\(y\)接到树\(x\)上，反之将树\(x\)接到树\(y\)上

在这里合并时，因为已经满足了左子树节点的权值小于右子树节点的权值，所以每次合并时

对于接到树\(x\)上的情况，要接到树\(x\)的右子树上，对于接到树\(y\)上的情况，要接到树\(y\)的左子树上

同样最后也要\(update\)

int merge(int x,int y)
{
    if(!(x&&y))return x+y;
    if(t[x].rd<t[y].rd)
    {
        t[x].ch[1]=merge(t[x].ch[1],y);
        up(x);
        return x;
    }
    else
    {
        t[y].ch[0]=merge(x,t[y].ch[0]);
        up(y);
        return y;
    }
}

四、其他操作

\(newnode\)：新建节点

int newnode(int x)
{
    t[++nodetot].val=x;
    t[nodetot].rd=rand();
    t[nodetot].siz=1;
    return nodetot;
}

\(ins\)：插入操作

我们找出当前节点\(x\)要插入的位置，将整棵平衡树分裂为\(a\)，\(b\)两棵子树，分别表示\(<=x\)和\(>x\)，再依次合并\(a,x,b\)

以按大小顺序建树：

void ins(int x)
{
    int a,b,c;
    split(rt,x,a,b);//a树表示<=x，b树表示>x
    rt=merge(merge(a,newnode(x)),b);//将x插入其中
}

\(del\)：删除操作

对于要删除的节点权值\(x\)，我们先分裂出\(a,b\)子树，表示\(<=x\)和\(>x\)，再把\(a\)分裂出一个\(c\)子树，使得\(a\)树\(<=x-1\)，这样，树\(c\)就是\(x\)

这时，树\(a,b,c\)分别表示\(<=x-1\)，\(x\)，\(>x\)

再直接合并树\(c\)的左子树和右子树，相当于删除权值为\(x\)的节点，再依次合并\(a,c,b\)

void del(int x)

{
    int a,b,c;
    split(rt,x,a,b);
    split(a,x-1,a,c);
    c=merge(t[c].ch[0],t[c].ch[1]);
    rt=merge(merge(a,c),b);

}

\(rnk\)：查询\(x\)数的排名

先将原树分裂成\(a(<=(x-1)),b(>(x-1))\)树，括号里面代表节点范围，那么\(t[a].siz\)代表\(<=(x-1)\)的数的个数，再加上\(1\)就是\(x\)的排名

int rnk(int x)
{
    int a,b,c;
    split(rt,x-1,a,b);
    int ans=t[a].siz+1;
    rt=merge(a,b);
    return ans;
}

\(kth\)：查询排名为\(k\)的数

这是少数几个仅仅用循环就可以解决的问题。

我们可以不断的更新\(now\)，当\(now\)的左子树的\(siz+1=k\)时，那么就寻找到了排名为\(k\)的数，返回答案

在循环中，我们判断当左子树的\(siz>=k\)时，那么说明排名为\(k\)的数肯定在左子树中，所以遍历左子树

否则，就更新：\(k=k-t[t[now].ch[0]].siz-1\)，再遍历右子树，不断循环，相当于一个递归的过程

int kth(int now,int k)
{
    while((t[t[now].ch[0]].siz+1)!=k)
    {
        if(t[t[now].ch[0]].siz>=k)now=t[now].ch[0];
        else
        {
            k=k-t[t[now].ch[0]].siz-1;
            now=t[now].ch[1];
        }
    }
    return t[now].val;
}

\(pre\)：求\(x\)的前驱(前驱定义为小于\(x\)，且最大的数)

将原树分离为\(a(<=x-1),b(>x-1)\)，那么相当于\(a\)树中的树都是\(<x\)的数，并且全部都在\(a\)树中，按照定义，我们找到\(a\)树中排名\(t[a].siz\)的数，就是\(a\)树中最大的数（右子树的数大于左子树的数），返回答案。

int pre(int x)
{
    int a,b,c;
    split(rt,x-1,a,b);
    int ans=kth(a,t[a].siz);
    rt=merge(a,b);
    return ans;
}

\(nxt\)：求\(x\)的后继(后继定义为大于\(x\)，且最小的数)

同\(pre\)操作很像，将原树分离为\(a(<=x),b(>x)\)，那么相当于\(b\)树中的数都是\(>x\)的数，按照定义，寻找\(b\)树中排名第一的数（最小），返回答案。

int nxt(int x)
{
    int a,b,c;
    split(rt,x,a,b);
    int ans=kth(b,1);
    rt=merge(a,b);
    return ans;
}

\(turn\)：翻转区间

例题：P3391 【模板】文艺平衡树（Splay）

\(p.s:\)例如：原有序序列是\(5\) \(4\) \(3\) \(2\) \(1\)，翻转区间是\([2,4]\)的话，结果是\(5\) \(2\) \(3\) \(4\) \(1\)

这个是按照\(siz\)来排序建树的，因为题目要求的是翻转区间，并不是按照数大小排序，所以用\(siz\)排序

在这里，我们将\([x,y]\)区间提取出来为\(b\)树，在\(b\)树上打标记\(rev\) ^ \(=1\)

void turn(int x,int y)
{
    int a,b,c,d;
    split(rt,x-1,a,b);
    split(b,y-x+1,b,c);
    t[b].rev^=1;
    rt=merge(a,merge(b,c));
}

五、后记

在这里要注意几个点

1.每次拆分子树后，要记得把原树合并回去，一家人就要整整齐齐的

2.上面的操作都是基本操作，都是板子，一些更高深的题可能需要更多操作和打标记，但主要都是灵活运用\(split\)和\(merge\)函数，就可以实现很多操作

六、例题

P3224 [HNOI2012]永无乡

【BZOJ3786】星系探索

原文地址：https://www.cnblogs.com/ShuraEye/p/11663631.html