一、BFGS算法简介

BFGS算法是使用较多的一种拟牛顿方法，是由Broyden，Fletcher，Goldfarb，Shanno四个人分别提出的，故称为BFGS校正。

同DFP校正的推导公式一样，DFP校正见博文“优化算法——拟牛顿法之DFP算法”。对于拟牛顿方程：

可以化简为：

令，则可得：

在BFGS校正方法中，假设：

二、BFGS校正公式的推导

令，其中均为的向量。，。

则对于拟牛顿方程可以化简为：

将代入上式：

将代入上式：

已知：为实数，为的向量。上式中，参数和解的可能性有很多，我们取特殊的情况，假设，。则

代入上式：

令，，则：

则最终的BFGS校正公式为：

三、BFGS校正的算法流程

设对称正定，由上述的BFGS校正公式确定，那么对称正定的充要条件是。

在博文“优化算法——牛顿法(Newton
Method)”中介绍了非精确的线搜索准则：Armijo搜索准则，搜索准则的目的是为了帮助我们确定学习率，还有其他的一些准则，如Wolfe准则以及精确线搜索等。在利用Armijo搜索准则时并不是都满足上述的充要条件，此时可以对BFGS校正公式做些许改变：

BFGS拟牛顿法的算法流程：

四、求解具体优化问题

求解无约束优化问题

其中，。

python程序实现：

1. function.py

   #coding:UTF-8
   '''
   Created on 2015年5月19日
   
   @author: zhaozhiyong
   '''
   
   from numpy import *
   
   #fun
   def fun(x):
       return 100 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) ** 2 + (x[0,0] - 1) ** 2
   
   #gfun
   def gfun(x):
       result = zeros((2, 1))
       result[0, 0] = 400 * x[0,0] * (x[0,0] ** 2 - x[1,0]) + 2 * (x[0,0] - 1)
       result[1, 0] = -200 * (x[0,0] ** 2 - x[1,0])
       return result
   

2. bfgs.py

   #coding:UTF-8
   
   from numpy import *
   from function import *
   
   def bfgs(fun, gfun, x0):
       result = []
       maxk = 500
       rho = 0.55
       sigma = 0.4
       m = shape(x0)[0]
       Bk = eye(m)
       k = 0
       while (k < maxk):
           gk = mat(gfun(x0))#计算梯度
           dk = mat(-linalg.solve(Bk, gk))
           m = 0
           mk = 0
           while (m < 20):
               newf = fun(x0 + rho ** m * dk)
               oldf = fun(x0)
               if (newf < oldf + sigma * (rho ** m) * (gk.T * dk)[0,0]):
                   mk = m
                   break
               m = m + 1
   
           #BFGS校正
           x = x0 + rho ** mk * dk
           sk = x - x0
           yk = gfun(x) - gk
           if (yk.T * sk > 0):
               Bk = Bk - (Bk * sk * sk.T * Bk) / (sk.T * Bk * sk) + (yk * yk.T) / (yk.T * sk)
   
           k = k + 1
           x0 = x
           result.append(fun(x0))
   
       return result
   

3. testBFGS.py

   #coding:UTF-8
   '''
   Created on 2015年5月19日
   
   @author: zhaozhiyong
   '''
   
   from bfgs import *
   
   import matplotlib.pyplot as plt  
   
   x0 = mat([[-1.2], [1]])
   result = bfgs(fun, gfun, x0)
   
   n = len(result)
   ax = plt.figure().add_subplot(111)
   x = arange(0, n, 1)
   y = result
   ax.plot(x,y)
   
   plt.show()

五、实验结果