A
一种合法构造方式是\(299\cdots 9\)
B
发现每次的\(x_{i-1}\)都是知道的，于是可以直接递推。
C
最终答案所选的数一定是\(n-k+1\)到\(n\)的所有数。把这些数所在的位置记作\(p_1,p_2,\cdots,p_k\). 不难发现每个\(r_i\in [p_i,p_{i+1})\),于是答案就是\(\prod (p_{i+1}-p_i)\).
D
首先把首尾能构成回文的部分删掉，因为这部分一定会出现在答案中。
问题变成了在当前字符串中选取一个前缀/后缀，使其为回文串且长度尽可能长。这个可以使用manacher/hash/回文自动机实现。这里笔者使用的是双hash（欢迎来hack）
E
注意到答案是单调不升的，我们可以从大到小扫一遍并判断当前答案是否成立。
考虑对于一个数\(x\)它何时不能成为答案：对于从右往左数的第\(i\)个比\(x\)大或相等的数，其右边至少有\(i\)个炸弹。
我们考虑维护\(b_i\)为位置\(i\)右边大于\(b_i\)的大于等于当前答案的数减去\(i\)右边炸弹的数量。当\(\max(b_i)\leq 0\)时说明当前的答案过大。
对\(b_i\)的维护可以使用线段树。
F
记\(f_s\)是构成串\(s\)的方案数。直接\(f_s\)求显然过于复杂，我们考虑容斥的想法，令\(F_s\)表示构成串\(s\)的数量，其中\(s_i=1\)表示\(p_i\)与\(p_{i+1}\)相互认识，\(s_i=0\)表示不限制\(p_i\)与\(p_{i+1}\)的关系。不难发现有\(F_s=\sum_{s\subseteq t}f_t\).这样我们可以求出\(F\),之后直接用FWT求出\(f\).
这样转化之后有一个重要的性质：我们可以忽略原串的位置限制，而是将\(n\)个人划分成若干个等价类\(p(1),p(2),\cdots,p(k)\).每个等价类中的所有人需要连成一条链，等价类之间的边会随着当前的串\(s\)而唯一确定。举一个例子：\(F_{1100111}=F_{0111011}\).这个性质的重要之处在于大大压缩了有效状态数，有效状态数为\(n\)的划分数，大致在几百左右。
先考虑一个简单的问题：如何对单个等价类求答案。我们记\(G_s\)表示将集合\(s\)中的人连成一条链的方案数，这个的转移比较简单，记\(g_{s,i}\)为集合\(s\)中的人连成一条以\(i\)结尾的链的方案数，对\(g\)暴力转移之后有\(G_s=\sum_{i\in s}g_{s,i}\).
接下来考虑如何通过\(G\)求\(F\)(注意此时\(F\)的下标对应着\(n\)的每一种划分方案).可以把答案写成这样
\[\sum_{\sum_{i=1}^k |p(i)|=n \ \forall i,j\ p(i)\bigcap p(j)=\empty\
}\prod_{i=1}^k G_{p(i)}
\]
枚举\(n\)的每一种划分方案，将条件2转化为\(\bigcup p(i)=\{1,2,\cdots,n\}\)，这样的话可以直接对\(G\)做一遍\(or\)的FWT来求出\(F_i\).在实现上，可以将原来的\(G_s\)变形为\(G_{|s|,s}\),然后在枚举划分的时候将对应的\(G_{i,s}\)算上即可。
最后枚举\(s\)，根据FWT的结果求出\(F_s\)，再求出\(f_s\)即可。具体实现可参照程序。
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