概率笔记2——古典概型

  上一章中通过几个示例对概率进行了初步介绍,从本章开始,将系统地介绍概率的相关知识。

基本概念

  概率研究的是随机现象背后的客观规律——我们对随机没有兴趣,感兴趣的是通过大量随机试验总结出的数学模型。

随机试验

  顾名思义,这个概念正如其名字一样。假设n个试验E= {E1,E2,……En} 是随机试验,那么对于每个实验:

  1. 同条件下可重复;
  2. 结果可知但并不唯一;
  3. 实验前不知道那个结果会发生。

  以掷骰子为例,每个骰子有6个面,共投掷了n次(n个试验),可以反复投掷,并不会只投掷一次骰子就坏掉(同条件下可重复性);每次的结果都是1到6(结果可知但并不唯一);在骰子落地前不知道结果(实验前不知道那个结果会发生)。

事件

  试验的可能结果的集合称为事件,通常用大写字母A、B等表示。很多对人以为事件是一次试验或一次试验的结果,实际上事件是一个集合。

  一次随机试验的结果称为一个随机事件,虽然只有一次试验只有一个结果,但它仍是集合。

  每次投骰子有6中可能结果,它的事件 A = {1,2,3,4,5,6}。

样本空间

  所有可能结果的全集叫做样本空间,也叫必然事件,通常有Ω表示。每次投掷骰子,它的样本空间都是Ω = {1,2,3,4,5,6}。

  事件是样本空间的子集。

  不可能产生的结果称为不可能事件,通常用φ表示。

事件的简单运算

  由于事件是集合,所以事件的运算等同于集合的运算。集合的运算较多,遇到时在详细讨论,这里仅举一例:

  其中第二个式子的读法是:A发生或B发生的对立事件 = A不发生且B不发生的事件。如果有人告诉你一定要会读,别信他的,不必深究读法,看懂意思即可。

古典概型

  概型就是概率模型;古典是说某些概率模型在概率成为一门学科前就被总结出来了。所以古典概型从字面上理解就是古代人总结出来的概率模型,也就是最简单的概率模型,它说的是:随机事件的样本空间中包含了有限个等可能样本点,求这些样本点出现的概率P(A)。由此得到公式:

  上面强调了“有限”和“等可能”,“有限”很容易理解,“等可能”是指客观上当你无法确定哪个事件更易发生的时候,只好认为是等可能。当投掷骰子时,并不知道那个点数更容易出现,所以认为所有点数出现的概率相等。一个乘客登上公交车,在随后10个站下车的可能性相等,正因为你不知道他想要从哪里下,所以才只好认为可能性相等。

典型问题

  将n个球随意放入N个盒子中(n ≤ N),每个盒子可以放任意多个球,求恰有n个盒子中各有一个球的概率。

  概率的经典示例就是掷骰子和放球,这个示例又是典型的古典概型。

  先看公式:

  首先计算样本空间。把一个球放入N个盒子,共有N种放法;由于每个盒子可以放任意多个球,所以第二个球同样有N种放法,根据乘法结合律,样本空间的样本点个数:

  恰有n个盒子中各有一个球。先使问题简单化,假设n个盒子正好是前n个,那么当第一个球放入盒子时共有n中放法;由于第一个球已经占据了一个盒子,所以第二个球共有n – 1种放法;第三个球有n – 2中放法……这实际上是n的全排列:

  现在是从N个盒子中取任意n个,取法是:

  将上面两个结果结合:

  综上:

  上面的结论可以看作是类似问题的公式。

不同的马甲

  只是计算从盒子里面摸小球的话未免太过无趣,实际上这类问题有很多不同的马甲,下面就是一个类似的。

  10个人去参加某公司的面试,这10个人恰好生日都不相同的概率是多少?假设10人都是非闰年出生。

  现在来和小球问题比一下:

  10个人去参加某公司的面试,(一年365生日可能相同)这10个人恰好生日都不相同的概率是多少?

  将n个球随意放入N个盒子中(n ≤ N),每个盒子可以放任意多个球,求恰有n个盒子中各有一个球的概率。

  上面用不同颜色对两个问题加以对比,剥去马甲——把人看作小球,生日看成盒子——就会发现,二者完全一致:



作者:我是8位的

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时间: 2024-10-08 23:56:42

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