数学中的生物学特性----遗传和变异

说明：此篇博文，是授课偶得，纯属玩笑之举，脱离了数学的严密性，不过从其他学科来解读数学，也不失一乐，读完也许能更深的体会到万事万物都是有关联的。

学习过生物学的人大抵都知道，子代会接受父代的遗传，当然也会有部分的变异。用这一观点我们也能解释数学上的函数问题。

比如，已知函数\(f(x)=x\)和函数\(g(x)=\cfrac{1}{x}\)，都是我们高中阶段需要熟练掌握的函数之一，那么函数\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}=f(x)+g(x)\)，所以函数\(f(x)\)和\(g(x)\)可以看成函数\(h(x)\)的父代，函数\(h(x)\)可以看成子代。

那么子代函数\(h(x)\)和父代函数\(f(x)\)与g(x)在图像和性质上有没有关联呢，他们又是如何关联的呢？从生物学的角度解读数学有没有其应用价值？这些问题才是我们需要关注的。

回顾：如图所示的红色为函数\(f(x)=x\)，定义在\(R\)上，奇函数，在\(R\)上单调递增，关于点\((0,0)\)对称；
蓝色的函数\(g(x)=\cfrac{1}{x}\)，定义在\((-\infty，0)\cup (0，+\infty)\)上，奇函数，在\((-\infty，0)\)和\((-\infty，0)\)上单调递减，关于点\((0,0)\)对称；

借助高中的导数这一工具，我们可以自行做出函数\(h(x)\)的图像，如绿色所示。

定义在\((-\infty，0)\cup (0，+\infty)\)上，奇函数，在\((-\infty，-1)\)和\((1，+\infty)\)上单调递增，在\((-1,0)\)和\((0，1)\)上单调递减，关于点\((0,0)\)对称；

那么从生物学角度怎么解释呢？

为了好解释，我们不妨对应定义函数\(f(x)\)为父本，函数\(g(x)\)为母本，函数\(h(x)\)为子代；

在某一个性状（比如身高）上，父本和母本中，谁的基因更强大，子代自然就接受谁的遗传基因，也是符合优胜劣汰的自然法则。

定义域的遗传：定义域和母本保持一致，为\((-\infty，0)\cup (0，+\infty)\)上

值域的遗传：值域为\((-\infty，-2]\cup [2，+\infty)\)，二者兼有，并且有变异。

单调性的遗传：由于父本和母本在点\((1，1)\)和\((-1，-1)\)处相交，故在直线\(x=-1\)和直线\(x=1\)的两侧单调性可能发生变化。

在区间\((-\infty，-1]\)上，接受父本，单调递增；在\([-1，0)\)上，接受母本，单调递减；

在\((0，1]\)上，接受母本，单调递减；在\([1，+\infty)\)上接受父本，单调递增。

奇偶性的遗传：同时接受父本和母本，奇函数。

对称性的遗传：同时接受父本和母本，关于点\((0，0)\)对称。

那么如何用函数\(y=x+\cfrac{1}{x}\)，来研究\(y=e^x+\cfrac{1}{e^x}\)的图像？

那么如何用函数\(y=e^x\)和函数\(y=x^2+2ax(a>0)\)的性质，来研究\(y=(x^2+2ax)e^x\)的图像？

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