连分数法解佩尔方程特解

一、佩尔方程的形式：

二、关于佩尔方程的特解：

特解是指佩尔方程的最小整数解，容易发现当x最小的时候y也同样达到最小。在一般情况下，佩尔方程的特解是通过暴利枚举方法得到的，本文将介绍如何用应用连分数法求特解。

本文将不涉及证明，只介绍方法。

三、连分数法：

一个实数的简单连分数表示，是指将一个实数用以下方法表示：

可以把连分数简记为：

有理数的连分数有两种表示形式：

所有无限连分数都是无理数，而所有无理数都可以用一种精确的方式表示成无限连分数，可以用这种方法逼近，无理数的值。

四、关于一个非完全平方数的平方根的连分数表示：

可以证明：一个非完全平方数的平方根的连分数是以周期呈现的。

比如：

简写为：

在之后就会循环出现1,2,4,2,1,8

我们不妨这样记这种连分数的形式：

显然循环节的长度是6

并且还有个重要的特点：这个循环节一定是从开始的，且最后一个数一定是2倍的

五、求解佩尔方程的最小特解：

我们将写成连分数的形式：

并且我们记：

（关于计算p,q：只要按照连分数的展开形式，迭代计算即可）

其中如果记循环节长度为s

那么有如下结论：

1、如果s为偶数时。最小特解为：

2、如果s为奇数时，最小特解为：

六、计算：

我们希望得到准确的连分数展开，那么关键在于不用浮点型计算。接下来以为例，解释如何计算的连分数。

我们记当前展开为，那么首先

按照这种方式，我们计算出了的连分数：

然后可以计算出来：

由于循环节长度6是偶数，那么佩尔方程的最小特解是：

之后我们参照上面的例子，来设计计算连分数的算法：

我们记：

那么显然有：

之后我们可以得到：

可以证明，这里一定是大于0的，这个实际上就是下次的

继续推导有：

可以证明，分母是可以被整除的。那么上式就可以写成：

那么容易得到新的b,c是：

还有，结果很大1000以内好多结果都超long long了。。。要改成大数才行。。。

七、关于如何解佩尔方程：

这个请参考AekdyCoin牛的空间：http://hi.baidu.com/aekdycoin/item/a45f7c37850e5b9db80c03d1

八、代码