波兰表示法(前缀表示法)

波兰表示法， 也叫前缀表示法。

运算波兰表达式时，无需记住运算的层次，只需要直接寻找第一个运算的操作符。以二元运算为例，从左至右读入表达式，遇到一个操作符后跟随两个操作数时，则计算之，然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数；重复此步骤，直至所有操作符处理完毕。因为在正确的前缀表达式中，操作数必然比操作符多一个，所以必然能找到一个操作符符合运算条件；而替换时，两个操作数和一个操作符替换为一个操作数，所以减少了各一个操作符和操作数，仍然可以迭代运算直至计算整个式子。多元运算也类似，遇到足够的操作数即产生运算，迭代直至完成。迭代结束的条件由表达式的正确性来保证。下面是一个例子，演示了每一步的运算顺序：

其特点是操作符置于操作数的前面，因此也称做前缀表示法。如果操作符的元数（arity）是固定的，则语法上不需要括号仍然能被无歧义地解析

计算方法：

运算波兰表达式时，无需记住运算的层次，只需要直接寻找第一个运算的操作符。以二元运算为例，从左至右读入表达式，遇到一个操作符后跟随两个操作数时，则计算之，然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数；重复此步骤，直至所有操作符处理完毕。因为在正确的前缀表达式中，操作数必然比操作符多一个，所以必然能找到一个操作符符合运算条件；而替换时，两个操作数和一个操作符替换为一个操作数，所以减少了各一个操作符和操作数，仍然可以迭代运算直至计算整个式子。多元运算也类似，遇到足够的操作数即产生运算，迭代直至完成。迭代结束的条件由表达式的正确性来保证。下面是一个例子，演示了每一步的运算顺序：

− × ÷ 15 − 7 + 1 1 3 + 2 + 1 1 =

− × ÷ 15 − 7 2     3 + 2 + 1 1 =

− × ÷ 15 5         3 + 2 + 1 1 =

− × 3              3 + 2 + 1 1 =

− 9                  + 2 + 1 1 =

− 9                  + 2 2     =

− 9                  4         =

5

等价的中缀表达式:  ((15 ÷ (7 − (1 + 1))) × 3) − (2 + (1 + 1)) = 5

下面的伪代码用一个stack求prefix的值 。注意和上面的从左到右处理的算法不同，是从右往左扫描 ， 但两个算法计算出来的值相同。（其实这个算法相当于后续遍历时候先遍历右子树）

Scan the given prefix expression from right to left

for each symbol

{

if operand then

push onto stack

if operator then

{

operand1=pop stack

operand2=pop stack

compute operand1 operator operand2

push result onto stack

}

}

return top of stack as result

Applying this algorithm to the example above yields the following:

− × ÷ 15 − 7 + 1 1 3 + 2 + 1 1 =

− × ÷ 15 − 7 + 1 1 3 + 2 2     =

− × ÷ 15 − 7 + 1 1 3 4         =

− × ÷ 15 − 7 2     3 4         =

− × ÷ 15 5         3 4         =

− × 3              3 4         =

− 9                  4         =

5

This uses the same expression as before and the algorithm above.

− × ÷ 15 − 7 + 1 1 3 + 2 + 1 1

The result is at the top of the stack.

参考：

http://en.wikipedia.org/wiki/Polish_notation 及其中文链接