基本知识
欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，
称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。
判断欧拉路是否存在的方法
有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。
无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。
判断欧拉回路是否存在的方法
有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。
无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。
程序实现一般是如下过程：
1.利用并查集判断图是否连通，即判断p[i] < 0的个数，如果大于1，说明不连通。
2.根据出度入度个数，判断是否满足要求。
3.利用dfs输出路径。
考虑一个比较有意思的问题，单词连接问题。
样例
考虑一个比较有意思的问题，单词连接问题。
给出n个单词，如果一个单词的尾和另一个单词的头字符相等，那么可以相连，问这n个单词是否可以排成一列。
这个显然可以使用欧拉路问题进行解决。考虑每一个单词的第一个字母入度加1，每一个单词的最后一个字母出度加1，然后每一个单词都相当于一条有向边，这样就可以利用这些信息进行是否联通的判断，比较高效的策略是使用并查集进行判断。
实现代码如下：
#include <iostream>
#include <assert.h>
#include <string>
using namespace std;
const int maxv = 27;
int in[maxv];
int out[maxv];
int p[maxv];
int rankk[maxv];
int used[maxv];
void init()
{
for(int i=0;i<maxv;i++)
{
p[i] = i;
in[i] = 0;
out[i]=0;
rankk[i] =1;
}
}
int find(int a)
{
if(p[a]==a)
return p[a];
p[a] = find(p[a]);
return p[a];
}
bool unions(int a,int b)
{
int pa = find(a),pb = find(b);
if(pa==pb)
return false;
if(rankk[pa]>rankk[pb])
{
p[pb]=pa;
rankk[pa]+=rankk[pb];
}
else
{
p[pa] = pb;
rankk[pb]+=rankk[pa];
}
return true;
}
int main(int argc,char* argv[])
{
init();
int wordCount = 0;
cin>>wordCount;
string word;
while(wordCount>0)
{
cin>>word;
int len = word.size();
in[word[0]-'a']++;
out[word[len-1]-'a']++;
used[word[0]-'a'] = 1;
used[word[len-1]-'a'] = 1;
unions(word[0]-'a',word[len-1]-'a');
wordCount--;
}
int scc = 0;
for(int i=0;i<maxv;i++)
{
if(used[i]&&p[i]==i)
{
scc++;
//break;
}
}
cout<<scc<<endl;
assert(scc<=1);
if(scc>1)
{
cout<<"scc is greater than 1 so it is not ok exit"<<endl;
return -1;
}
int a=0,b=0;
for(int i=0;i<maxv;i++)
{
if(!used[i])
continue;
cout<<'a'+i<<" "<<in[i]<<" "<<out[i]<<endl;
if(in[i]==out[i])
continue;
if(in[i]-out[i]==1)
a++;
else if(in[i]-out[i]==-1)
b++;
else
{
cout<<"not ok,exit"<<endl;
return -1;
}
}
if((a==1&&b==1)||a+b==0)
cout<<"OK"<<endl;
return 0;
}
Fleury算法
对于有向图和无向图都可以使用Fleury算法累实现寻找欧拉回路问题。下面介绍一下Fleury算法的思路。
Fleury算法：
任取v0∈V(G)，令P0=v0；
设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：
（a）ei+1与vi相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2, …,
ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；
（c）当（b）不能再进行时，算法停止。
可以证明,当算法停止时所得的简单回路Wm=v0e1v1e2….emvm(vm=v0)为G中的一条欧拉回路，复杂度为O(e*e)。
//
// Eular.h
// HelloWorld
//
// Created by jackqiu on 15-1-5.
// Copyright (c) 2015年 jackqiu. All rights reserved.
//
#ifndef HelloWorld_Eular_h
#define HelloWorld_Eular_h
class Eular
{
private:
#define SIZE 1000
int graph[SIZE][SIZE];
int stack[SIZE+10];
int top;//the
int size;
/**
Fleury算法：
任取v0∈V(G)，令P0=v0；
设Pi=v0e1v1e2…ei vi已经行遍，按下面方法从中选取ei+1：
（a）ei+1与vi相关联；
（b）除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为Gi=G-{e1,e2, …, ei}中的桥（所谓桥是一条删除后使连通图不再连通的边）；
（c）当（b）不能再进行时，算法停止。
可以证明,当算法停止时所得的简单回路Wm=v0e1v1e2….emvm(vm=v0)为G中的一条欧拉回路，复杂度为O(e*e)。
*/
void DFS(int x,int t)
{
stack[++top] = x;
int brige = 0,i;
for(i=t;i<size;i++)
{
if(graph[x][i])
{
graph[x][i] = graph[i][x] = 0;
brige = 1;
DFS(i,0);
break;
}
}
if(brige==0)//没有边的话就往后退
{
int beforeX = stack[--top];//相当于先pop，然后取栈顶的元素
graph[beforeX][x] = graph[x][beforeX] = 1;//回复刚刚的数据，返回的上一个节点
if(top== size)
{
stack[++top] = x;
}
else
{
top--;
DFS(beforeX,x+1);//visit the next node of x
}
}
}
public:
Eular()
{
}
void eular()
{
cout<<"please input the size:";
cin>>size;
cout<<"input the edge for example 1 2 (-1 -1) to exit"<<endl;
int a,b;
cin>>a>>b;
graph[a][b] = graph[b][a] = 1;
while(a!=-1&&b!=-1)
{
cin>>a>>b;
graph[a][b] = graph[b][a] = 1;
}
top = 0;
DFS(0,0);
for(;top>0;top--)
{
cout<<stack[top]<<" ";
}
cout<<endl;
}
};
#endif