$\color{Blue}{一元二次方程根的分布}$

在高中数学一元二次不等式教学中，经常用到“三个二次”的关系解题，如求解一元二次方程根的分布问题。

1、 什么是“三个二次”的关系？

他们指的是一元二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)，和其对应的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)，以及其对应的一元二次不等式\(ax^2+bx+c>0(<0,\leq 0,\ge 0)(a\neq 0)\)，由于这三个数学对象都是二次的，故称“三个二次”。

2、怎么理解“三个二次”的关系？

从右图来看，所给的是一元二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c(a> 0)\)的图像，

\(\color{Red}{函数\Longrightarrow 方程}\)，她和\(x\)轴的交点对应的函数值\(f(x)=0\)，故函数和\(x\)轴的交点的图像其实就对应一元二次方程\(ax^2+bx+c=0(a\neq 0)\)，那两个点可以理解为方程的“形”，那两个点的横坐标就是方程的形所对应的“数”；

\(\color{Red}{函数\Longrightarrow 不等式}\)，\(x\)轴下方的图像对应的函数值\(f(x)<0\)，故其对应的不等式为\(ax^2+bx+c<0\)；\(x\)轴上方的图像对应的函数值\(f(x)>0\)，故其对应的不等式为\(ax^2+bx+c>0\)，

【引例】已知不等式\(ax^2-bx-1\ge 0\)的解集是\([-\cfrac{1}{2}，-\cfrac{1}{3}]\)，求不等式\(x^2-bx-a<0\)的解集。

分析：由题目已知条件可知，方程\(ax^2-bx-1= 0\)的两个根是\(x=-\cfrac{1}{2}\)和\(x=-\cfrac{1}{3}]\)，故由韦达定理可知\((-\cfrac{1}{2})+(-\cfrac{1}{3})=-\cfrac{-b}{a}=\cfrac{b}{a}\)，\((-\cfrac{1}{2})\times(-\cfrac{1}{3})=\cfrac{-1}{a}\)，解得\(a=-6，b=5\)，故所求解集的不等式即为\(x^2-5x+6<0\)，解得\(2<x<3\)，故\(x\in (2，3)\)。

【引例】已知二次函数\(f(x)>0\)解集\(\{x\mid x<1或x>3\}\),求\(f(log_2^\;x)<0\)的解集。

分析：由三个二次的关系可知，\(f(x)<0\)的解集为\(\{x\mid 1<x<3\}\)，故由\(f(log_2^\;x)<0\)可得，\(1<log_2^\;x<3\)，即\(log_2\;2<log_2^\;x<log_2\;8\)，故\(2<x<8\)；

3、具体怎么用“三个二次”的关系解题？

其一：用图像解不等式，比如\(x\)轴下方的图像向\(x\)轴作正射影，得到区间\((x_1，x_2)\)，故不等式为\(ax^2+bx+c<0\)的解集为\((x_1，x_2)\)；\(x\)轴上方的图像向\(x\)轴作正射影，得到区间\((-\infty，x_1)\)和区间\((x_2，+\infty)\)，故不等式为\(ax^2+bx+c>0\)的解集为\((-\infty，x_1)\cup (x_2，+\infty)\)，

其二：利用图像确定方程的根的分布，如下例题。

\(\fbox{例1}\)如果方程\(x^2+(m-1)x+m^2-2=0\)的两个实根一个小于\(-1\)，另一个大于\(1\)，那么实数\(m\)的取值范围是\(（\qquad）\)。

法1：如果你想到用求根公式表达出\(x_1<-1\)，\(x_2>1\)，这样的思维往往也没有错，但是思维的层次就有点低了，因为仅仅想到用数来表达，而没有想到借助形来简化运算，况且转化后得到的是无理不等式，求解过程本身就很复杂。

法2：我们一般利用其对应函数的图像来控制方程根的分布，所以设\(f(x)=x^2+(m-1)x+m^2-2\)，做出适合题意的函数\(f(x)\)的大致图像，有图像可知，此时只须满足条件：\(\begin{cases} f(-1)<0 \\ f(1)<0 \end{cases}\)即可，下来解不等式就可以了。即求解\(\begin{cases}1-(m-1)+m^2-2<0 \\ 1+(m-1)+m^2-2<0 \end{cases}\)，这样的二次不等式的求解应该比法1简单。

\(\fbox{例2}\)方程的两个根都大于1，

法1：(错解 )由题知\(\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_1+x_2>2 \\ x_1\cdot x_2>1 \end{cases}\)，错在不等式性质的应用上，

\(\fbox{不等式性质}\)

同向不等式的可加性：\(\begin{cases}a>b\\c>d\end{cases}\)是\(a+c>b+d\)的充分不必要条件，也就是说由\(\begin{cases}x_1+x_2>2\\x_1\cdot x_2>1\end{cases}\)并不能推出本题想要的结果\(\begin{cases}x_1>1\\x_2>1\end{cases}\)，故这样的解集必然是错误的。

不过我们注意到\(\begin{cases}a+b>0\\ab>0\end{cases}\)等价于\(\begin{cases}a>0\\b>0\end{cases}\)，那么把上面的解法稍微做个改进就得到法2：

法2： 分析，变形使用不等式的性质，得到\(\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ x_1+x_2>2 \\ (x_1-1)\cdot (x_2-1)>0 \end{cases}\)

法3： 分析，有对应的函数图像转化得到不等式组，\(\begin{cases} \Delta \ge 0 \\ -\cfrac{m-1}{2}>1 \\ f(1)>0 \end{cases}\)

\(\fbox{例3}\)方程有一个正根和一个负根，

分析：由于函数图像开口向上，故只需要满足\(f(0)<0\)即可。

\(\fbox{例4}\)方程的一个根在区间\((1，2)\)内,另一个根在区间\((3，4)\)内，

分析：做出适合题意的图像，由图可知，须满足条件：\(\begin{cases} f(1)>0 \\ f(2)<0 \\ f(3)<0 \\ f(4)>0 \end{cases}\)

\(\fbox{例5}\)

已知\(a\in Z\),关于\(x\)的一元二次不等式\(x^2-6x+a\leq 0\)的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的\(a\)的值之和是多少？

解析：不等式对应方程的根是\(x=3\pm\cfrac{\sqrt{36-4a}}{2}(a<9)\)，故令\(f(x)=x^2-6x+a\)，

则\(f(x)\)与\(x\)轴的交点是以3为对称中心的，要使得不等式\(x^2-6x+a\leq 0\)的解集中有且仅有3个整数，

则函数\(f(x)\)的图像和\(x\)轴必有两个交点，一个在区间\((1，2]\)处，另一个在区间\([4，5)\)处，

要满足题意，则必须有下列不等式组成立\(\begin{cases} f(1)>0 \\ f(2)\leq 0 \\ f(4)\leq 0\\ f(5)>0 \end{cases}\) ，可仿上图理解

解得\(5<a\leq 8\)，又由于\(a\in Z\)，故\(a=6、7、8\)，所求为21。

\(\fbox{例6}\)

已知函数\(f(x)=x^2+(2t-1)x+1-2t\)，

(1)、求证：对于任意的\(t\in R\)，方程\(f(x)-1=0\)必有实数根。

法1：证明方程\(f(x)-1=0\)的\(\Delta \ge 0\)；

法2：分解得到\(f(x)-1=(x+2t)(x-1)\)，故\(x=1\)是其实数根；

(2)、若\(\cfrac{1}{2}<t<\cfrac{3}{4}\)，求证：函数\(f(x)\)在区间\((-1，0)\)及\((0，\cfrac{1}{2})\)上各有一个零点；

分析：只要能证明\(\begin{cases}f(-1)>0\\f(0)<0\\f(\cfrac{1}{2})>0\end{cases}\)即可。

\(\fbox{例7}\)(数学常识)
已知二次方程\(ax^2+bx+c=0(a>0)\)， (令\(f(x)=ax^2+bx+c\))

(1)、有两个正实根，

从数的角度，有\(\begin{cases}\Delta \ge0\\ x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}>0\\x_1x_2=\cfrac{c}{a}>0\end{cases}\)；

从形的角度，有\(\begin{cases}\Delta \ge0\\ -\cfrac{b}{2a}>0\\f(0)>0\end{cases}\)；

(2)、有两个负实根，

从数的角度，有\(\begin{cases}\Delta \ge0\\ x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}<0\\x_1x_2=\cfrac{c}{a}>0\end{cases}\)；

从形的角度，有\(\begin{cases}\Delta \ge0\\ -\cfrac{b}{2a}<0\\f(0)>0\end{cases}\)；

\(\fbox{例8}\)(能转化为根的分布问题)

(2017豫北名校4月联考)设集合\(A=\{x\mid x^2+2x-3>0\}\)，集合\(B=\{x\mid x^2-2ax-1\leq0 ，a>0\}\)，若\(A\cap B\)中恰含有一个整数，则实数\(a\)的取值范围是

A.\((0，\cfrac{3}{4})\) \(\hspace{2cm}\) B.\([\cfrac{3}{4}，\cfrac{4}{3})\) \(\hspace{2cm}\) C.\([\cfrac{3}{4}，+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) D.\((1，+\infty)\)

分析：化简\(A=(-\infty，-3)\cup(1，+\infty)\)，

集合\(B\)是不能直接求解的，此时我们不适宜从数的角度来表达集合\(B\)，原因是解集中会含有无理式，这样求解集合会非常麻烦，

怎么办呢，我们采用从形的角度入手分析，

设\(f(x)= x^2-2ax-1=(x-a)^2-a^2-1\)，对称轴是直线\(x=a\)，开口向上，

要使得\(A\cap B\)中恰含有一个整数，结合其大致草图(注意所做图像始终是对称的)，我们可以看出这个整数只能是2，如何从形上限制呢？

令\(\begin{cases}f(2)\leq 0\\f(3)>0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}4-4a-1\leq 0\\9-6a-1>0\end{cases}\)，

解得\(\cfrac{3}{4}\leq a<\cfrac{4}{3}\)，故选B。

\(\fbox{例9}\)(能转化为根的分布问题)

\(\fbox{到底该考虑哪些因素}\)

从上面的几个例子我们可以看出，若数形结合则求解难度明显降低了，但是思维的难度取提高了，那么做这类题目我们一般该怎么考虑呢？

1、先定义二次不等式所对应的二次函数\(f(x)\)；

2、做出适合题意的函数图像；

3、将图像所蕴含的数学语言表达出来即可，也就是转化得到不等式组；

4、在转化时常常要考虑的因素有二次项的系数、判别式\(\Delta\)、对称轴、端点值的正负。

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