问题:求1到n这n个整数间的异或值,即 1 xor 2 xor 3 ... xor n
记 f(x, y) 为x到y的所有整数的异或值。
对 f(2^k, 2^(k+1) -1) (注意文章中的 ^ 表示的是“幂”,xor 表示“异或”,or 表示“或”):
2^k 到 2^(k+1) -1 这2^k个数,最高位(+k位)的1个数为2^k,
若 k >= 1,则2^k为偶数,将这2^k个数的最高位(+k位)去掉,异或值不变。
因而 f(2^k, 2^(k+1) -1) = f(2^k - 2^k, 2^(k+1) -1 -2^k) = f(0, 2^k -1)
因而 f(0, 2^(k+1) -1) = f(0, 2^k -1) xor f(2^k, 2^(k+1) -1) = 0 (k >= 1)
即 f(0, 2^k - 1) = 0 (k >= 2)
对 f(0, n) (n >= 4) 设n的最高位1是在+k位(k >= 2),
f(0, n) = f(0, 2^k - 1) xor f(2^k, n) = f(2^k, n)
对2^k到n这n+1-2^k个数,最高位(+k位)共有 m = n+1-2^k 个1,去除最高位的1
当n为奇数时,m是偶数,因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k)
由于n - 2^k 与 n同奇偶,递推上面的公式,可得:f(0, n) = f(0, n % 4)
当 n % 4 == 1 时, f(0, n) = f(0, 1) = 1
当 n % 4 == 3 时, f(0, n) = f(0, 3) = 0
当n为偶数时,m是奇数,因而 f(0, n) = f(2^k, n) = f(0, n - 2^k) or 2^k
也就是说,最高位1保持不变,由于n - 2^k 与 n同奇偶,递推上面的公式,
可得:f(0, n) = nn or f(0, n % 4) (nn为 n的最低2位置0)
当 n % 4 == 0 时, f(0, n) = n
当 n % 4 == 2 时, f(0, n) = nn or 3 = n + 1 (公式对 n = 2仍成立)
综上所述:
f(1, n) = f(0, n) =
n n % 4 == 0
1 n % 4 == 1
n +1 n % 4 == 2
0 n % 4 == 3
代码:
unsigned xor_n(unsigned n)
{
unsigned t = n & 3;
if (t & 1) return t / 2u ^ 1;
return t / 2u ^ n;
}